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Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Démonstration Toute matrice à coefficients réels admet au moins
<102> une
valeur propre dans C. Considérons À E C une valeur propre complexe d'une
matrice symétrique réelle ME Mn(�). Afin de montrer que cette valeur propre
est réelle, on va montrer qu'elle est égale à son conjugué, c'est-à-dire que À= X.
Soit Z E e n \ {O} un vecteur propre associé à la valeur propre À; on a
MZ = >.Z.
(25)
D'une part, en multipliant l'égalité (25) par t z à gauche, on obtient
(26)
D'autre part, en transposant l'égalité (25), on a t ztM = >.t z. Puisque la matrice
:tvI est symétrique, on en déduit t z:rvI = >.t z. En prenant le conjugué de cette
t - - - t -
t -
- t -
égalité, on a Z M = À Z. La matrice M étant réelle, on obtient ZM = À Z.
Enfin, en multipliant cette égalité par Z à droite, on a
(27)
t -
- t -
Les relations (26) et (27) permettent d'affirmer que À ZZ = À ZZ. Puisque
Z = (z1 , . .. , Zn) est non nul, on a t zz = l z11 2 + · · · + l zn l 2 #O. On en déduit
donc que À = X, autrement dit À E R
0
PROPOSITION 8.29 Les sous-espaces propres d'une matrice symétrique à co.l'h .
, l
d
' d
h
(l03)
e,;,cients ree s sont eux a eux ort ogonaux .
D.
.
s
.
\
d
1
d"
.
(l 0
4) d 1
emonstrat10n ment /\ et µ eux va eurs propres istmctes
e a matrice :tvI; d'après la proposition 8.28, ces valeurs propres sont réelles. Considérons deux sous-espaces propres E>. et Eµ associés respectivement aux deux
valeurs À et µ. Pour montrer que E>. est orthogonal à Eµ, il faut montrer que
pour tous X E E>. et Y E Eµ on a (X, Y)IR" = 0, c'est-à-dire tyx = O.
La matrice M étant symétrique on a ty:rvIX = t CXMY) . Or, par définition
d'un sous-espace propre, on a MX = >.X et MY = µY. Cela implique que
Àtyx = µ t CXY) , c'est-à-dire que (>. - µ)tYX = O. Puisque À # µ, on en
conclut que tyx = O.
0
<102> En effet, par définition, une valeur propre est une racine du polynôme caractéristique, et
on sait que tout polynôme réel admet au moins une racine dans C, voir le théorème de
d'Alembert-Gauss énoncé dans le Cours de première année p. 248.
<103> L'orthogonalité fait ici référence au produit scalaire canonique de Rn , n étant la taille de
la matrice considérée.
<104> S'il n'existe qu'une seule valeur propre, la proposition est immédiatement satisfaite puisqu'il n'y a qu'un seul sous-espace propre.
Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Démonstration Toute matrice à coefficients réels admet au moins
<102> une
valeur propre dans C. Considérons À E C une valeur propre complexe d'une
matrice symétrique réelle ME Mn(�). Afin de montrer que cette valeur propre
est réelle, on va montrer qu'elle est égale à son conjugué, c'est-à-dire que À= X.
Soit Z E e n \ {O} un vecteur propre associé à la valeur propre À; on a
MZ = >.Z.
(25)
D'une part, en multipliant l'égalité (25) par t z à gauche, on obtient
(26)
D'autre part, en transposant l'égalité (25), on a t ztM = >.t z. Puisque la matrice
:tvI est symétrique, on en déduit t z:rvI = >.t z. En prenant le conjugué de cette
t - - - t -
t -
- t -
égalité, on a Z M = À Z. La matrice M étant réelle, on obtient ZM = À Z.
Enfin, en multipliant cette égalité par Z à droite, on a
(27)
t -
- t -
Les relations (26) et (27) permettent d'affirmer que À ZZ = À ZZ. Puisque
Z = (z1 , . .. , Zn) est non nul, on a t zz = l z11 2 + · · · + l zn l 2 #O. On en déduit
donc que À = X, autrement dit À E R
0
PROPOSITION 8.29 Les sous-espaces propres d'une matrice symétrique à co.l'h .
, l
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(l03)
e,;,cients ree s sont eux a eux ort ogonaux .
D.
.
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.
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.
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4) d 1
emonstrat10n ment /\ et µ eux va eurs propres istmctes
e a matrice :tvI; d'après la proposition 8.28, ces valeurs propres sont réelles. Considérons deux sous-espaces propres E>. et Eµ associés respectivement aux deux
valeurs À et µ. Pour montrer que E>. est orthogonal à Eµ, il faut montrer que
pour tous X E E>. et Y E Eµ on a (X, Y)IR" = 0, c'est-à-dire tyx = O.
La matrice M étant symétrique on a ty:rvIX = t CXMY) . Or, par définition
d'un sous-espace propre, on a MX = >.X et MY = µY. Cela implique que
Àtyx = µ t CXY) , c'est-à-dire que (>. - µ)tYX = O. Puisque À # µ, on en
conclut que tyx = O.
0
<102> En effet, par définition, une valeur propre est une racine du polynôme caractéristique, et
on sait que tout polynôme réel admet au moins une racine dans C, voir le théorème de
d'Alembert-Gauss énoncé dans le Cours de première année p. 248.
<103> L'orthogonalité fait ici référence au produit scalaire canonique de Rn , n étant la taille de
la matrice considérée.
<104> S'il n'existe qu'une seule valeur propre, la proposition est immédiatement satisfaite puisqu'il n'y a qu'un seul sous-espace propre.