Algèbre bilinéaire
503
Ce déterminant étant positif, on a sin(B) > 0 donc (} E)O, 7î[ et par conséquent
la relation cos(B) = 2 +v'2+V3 - v'6 implique (}= arccos( 2 +J2+V3 - v'6) >::: : 56 6°
2 y'6
( 2\1'6)
' .
8.4 Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Rappel sur la diagonalisation
De manière générale, diagonaliser une matrice A E M n (R.), c'est trouver une
matrice semblable à A qui soit diagonale. Plus précisément, une matrice A est
diagonalisable s'il existe une matrice inversible P E GL n (R.) et une matrice
diagonale DE M n (R.) telles que D = p- 1 AP. Diagonaliser A, c'est trouver D
et P.
En terme d'application linéaire, un endomorphisme f d'un R.-espace vectoriel E
de dimension finie est dit diagonalisable sur R. s'il existe une base de E formée
de vecteurs propres de f. Diagonaliser f, c'est trouver une telle base.
Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables.' En effet, on montre < 1 0 1 >
qu'un endomorphisme d'un R.-espace vectoriel E est diagonalisable si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1. le nombre de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) est égal
à la dimension de E ;
2. la dimension de chacun des sous-espaces propres est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.
Il existe des endomorphismes pour lesquels l'une ou l'autre de ces deux conditions (ou les deux à la fois) n'est pas vérifiée. En particulier, on sait que le
nombre de valeurs propres correspond au nombre de racines réelles du polynôme caractéristique. Ce polynôme étant de degré égal à n (la dimension de E) ,
on sait que le nombre de racine ne peut excéder n mais rien n'affirme que ce
polynôme a exactement n racines réelles.
Nous allons montrer dans cette partie que toutes les matrices symétriques à
coefficients réels sont diagonalisables. De plus, nous établirons que les matrices
de passage P qui permettent de diagonaliser les matrices symétriques réelles
peuvent être choisies orthogonales. Commençons par étudier quelques propriétés des matrices symétriques réelles.
PROPOSITION 8.28 To utes les valeurs propres d'une matrice symétrique à
coefficients réels sont réelles.
( 1 0 1) Voir le Cours de première année p. 538
503
Ce déterminant étant positif, on a sin(B) > 0 donc (} E)O, 7î[ et par conséquent
la relation cos(B) = 2 +v'2+V3 - v'6 implique (}= arccos( 2 +J2+V3 - v'6) >::: : 56 6°
2 y'6
( 2\1'6)
' .
8.4 Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Rappel sur la diagonalisation
De manière générale, diagonaliser une matrice A E M n (R.), c'est trouver une
matrice semblable à A qui soit diagonale. Plus précisément, une matrice A est
diagonalisable s'il existe une matrice inversible P E GL n (R.) et une matrice
diagonale DE M n (R.) telles que D = p- 1 AP. Diagonaliser A, c'est trouver D
et P.
En terme d'application linéaire, un endomorphisme f d'un R.-espace vectoriel E
de dimension finie est dit diagonalisable sur R. s'il existe une base de E formée
de vecteurs propres de f. Diagonaliser f, c'est trouver une telle base.
Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables.' En effet, on montre < 1 0 1 >
qu'un endomorphisme d'un R.-espace vectoriel E est diagonalisable si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1. le nombre de ses valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) est égal
à la dimension de E ;
2. la dimension de chacun des sous-espaces propres est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.
Il existe des endomorphismes pour lesquels l'une ou l'autre de ces deux conditions (ou les deux à la fois) n'est pas vérifiée. En particulier, on sait que le
nombre de valeurs propres correspond au nombre de racines réelles du polynôme caractéristique. Ce polynôme étant de degré égal à n (la dimension de E) ,
on sait que le nombre de racine ne peut excéder n mais rien n'affirme que ce
polynôme a exactement n racines réelles.
Nous allons montrer dans cette partie que toutes les matrices symétriques à
coefficients réels sont diagonalisables. De plus, nous établirons que les matrices
de passage P qui permettent de diagonaliser les matrices symétriques réelles
peuvent être choisies orthogonales. Commençons par étudier quelques propriétés des matrices symétriques réelles.
PROPOSITION 8.28 To utes les valeurs propres d'une matrice symétrique à
coefficients réels sont réelles.
( 1 0 1) Voir le Cours de première année p. 538