502
Isométries et matrices orthogonales
Dans le théorème 8.9, les deux premiers cas correspondent aux isométries indirectes car le déterminant de la matrice vaut -1. Le dernier cas correspond aux
rotations (le déterminant de la matrice vaut + 1).
·
En pratique, lorsque l'on dispose d'une rotation en dimension
3
, c'est-à-dire
d'une isométrie de IR 3 de déterminant +1, on ne dispose pas toujours d'une
base dans laquelle cette rotation a l'expression donnée par le théorème 8.9.
Néanmoins, on peut déterminer l'angle de cette rotation (la valeur e dans le
théorème 8.9) en calculant la trace de l'isométrie <99l ; on a Tr(u) = 2cos(B) +1,
ce qui permet d'obtenir la valeur de cos(B). On détermine l'angle e en connaissant le signe de sin(B). Celui-ci est donné par le signe du déterminant de la
famille de trois vecteurs (e1 , x, u(x)) où e1 est le vecteur propre de u associé à
la valeur propre 1 (ce vecteur est appelé l'axe de la rotation) et x un vecteur
non colinéaire à l'axe de la rotation.
Exemple Considérons la matrice
(2 /� 0 1 M )
u = 1/V6 1/V2 -1/VJ .
-1/Vfi 1/V2 1/VJ
On a vu p. 495 que la matrice U est une matrice orthogonale. On a det(U) = 1
ce qui montre que la matrice U est la matrice d'une rotation.
L'axe de cette rotation est l'ensemble des vecteurs invariants par cette rotation,
autrement dit l'axe de la rotation correspond à l'espace propre associé à la
valeur propre +1 (un vecteur propre e1 associé à la valeur propre 1 vérifie
Ue1 = e1) . En résolvant le système linéaire Ux = x, on établit que ce vecteur
propre est
i::: : Pour déterminer l'angle e de la rotation, on utilise la trace de la matrice U;
on a Tr(U) = 2 + 1t/3 = 2cos(B) + 1 d'où cos(B) = 2 + VZ;Ji-V6. Comme le
vecteur x = (1, 0, 0) n'est pas colinéaire à e1, le signe de sin(B) est celui du
déterminant de la famille {e1 , x, u(x)}. On a <1 00 '
det(e 1 , x, u(x)) =
1
(J2 + l )(J3-J2)
J3-J2
1
0
0
2/V6
1/Vfi
=
1 + ;;;
3
J2 ( V3 - V'i ) .
- 1/Jfi
V<>
<99> La trace d'un endomorphisme est la trace de n'importe quelle matrice représentant cet
endomorphisme.
c i o o ) La valeur de ce déterminant est obtenue rapidement en développant selon la deuxième
colonne.
Isométries et matrices orthogonales
Dans le théorème 8.9, les deux premiers cas correspondent aux isométries indirectes car le déterminant de la matrice vaut -1. Le dernier cas correspond aux
rotations (le déterminant de la matrice vaut + 1).
·
En pratique, lorsque l'on dispose d'une rotation en dimension
3
, c'est-à-dire
d'une isométrie de IR 3 de déterminant +1, on ne dispose pas toujours d'une
base dans laquelle cette rotation a l'expression donnée par le théorème 8.9.
Néanmoins, on peut déterminer l'angle de cette rotation (la valeur e dans le
théorème 8.9) en calculant la trace de l'isométrie <99l ; on a Tr(u) = 2cos(B) +1,
ce qui permet d'obtenir la valeur de cos(B). On détermine l'angle e en connaissant le signe de sin(B). Celui-ci est donné par le signe du déterminant de la
famille de trois vecteurs (e1 , x, u(x)) où e1 est le vecteur propre de u associé à
la valeur propre 1 (ce vecteur est appelé l'axe de la rotation) et x un vecteur
non colinéaire à l'axe de la rotation.
Exemple Considérons la matrice
(2 /� 0 1 M )
u = 1/V6 1/V2 -1/VJ .
-1/Vfi 1/V2 1/VJ
On a vu p. 495 que la matrice U est une matrice orthogonale. On a det(U) = 1
ce qui montre que la matrice U est la matrice d'une rotation.
L'axe de cette rotation est l'ensemble des vecteurs invariants par cette rotation,
autrement dit l'axe de la rotation correspond à l'espace propre associé à la
valeur propre +1 (un vecteur propre e1 associé à la valeur propre 1 vérifie
Ue1 = e1) . En résolvant le système linéaire Ux = x, on établit que ce vecteur
propre est
i::: : Pour déterminer l'angle e de la rotation, on utilise la trace de la matrice U;
on a Tr(U) = 2 + 1t/3 = 2cos(B) + 1 d'où cos(B) = 2 + VZ;Ji-V6. Comme le
vecteur x = (1, 0, 0) n'est pas colinéaire à e1, le signe de sin(B) est celui du
déterminant de la famille {e1 , x, u(x)}. On a <1 00 '
det(e 1 , x, u(x)) =
1
(J2 + l )(J3-J2)
J3-J2
1
0
0
2/V6
1/Vfi
=
1 + ;;;
3
J2 ( V3 - V'i ) .
- 1/Jfi
V<>
<99> La trace d'un endomorphisme est la trace de n'importe quelle matrice représentant cet
endomorphisme.
c i o o ) La valeur de ce déterminant est obtenue rapidement en développant selon la deuxième
colonne.