Algèbre bilinéaire
501
par u. D'après la proposition 8.26, on en déduit le sous-espace H = (Re1 ).l est
stable par tu. La dimension de H est strictement inférieure à n et on applique
l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme tu: H � H.
- Si u ne possède pas de valeur propre réelle alors on exhibe un plan vectoriel P
stable par u en considérant l'endomorphisme <97> f = u + u- 1 . Puisque u est
une isométrie on a tu= u- 1 et la matrice associée à l'endomorphisme f est une
matrice symétrique. On verra à la proposition 8.28 que tout endomorphisme
symétrique admet une valeur propre réelle. Notons e 1 un vecteur propre de f
associé à cette valeur propre À ; on a
(24)
Notons e 2 = u(ei); en appliquant l'endomorphisme u à chaque membre de
l'égalité (24) on obtient u(e 2 ) + e 1 = Àe 2 . On a donc u(ei) = e 2 et u(e 2 ) =
>.e 2 - el et on en déduit que le plan vectoriel P engendré par les vecteurs el
et e 2 est stable par u. L'endomorphisme u restreint au plan P, u: P �Pest
une isométrie et d'après l'étude en dimension 2, on sait c9 s> qu'il s'agit d'une
rotation. D'après la proposition 8.26, l'endomorphisme tu est stable par p .l
et la dimension de p .l est strictement inférieure à n. On peut donc appliquer
l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme tu : p .l
� p -1 .
D
Le théorème 8.8 n'exclut pas d'avoir r = 0 ou s = O. Autrement dit, une
isométrie d'un espace euclidien peut avoir pour matrice
U =
( e1 )
ou U =
(Re 1 )
êr
Re ,
On notera que le second cas ne peut se produire que si la dimension de E
est paire.
Cas de la dimension n = 3
Si E est un espace de dimension 3, le théorème 8.8 prend la forme suivante.
THÉORÈME 8.9 Soit u une isométrie d'un espace euclidien E de dimension 3. Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u
a l'une des formes suivantes :
ni
0
�J ni
- 1
ou
0
avec 0 E [O, 2rr[.
0
�)
1
0
ou
0
cos(B)
sin(O)
-si �(e))
cos(B)
<97> L'endomorphisme u étant une isométrie, il est en particulier inversible.
<9 3 > C · é ·
. é
. . d'
.
Il
éd .
1
ette 1som tne ne peut pas être une 1som tne m 1recte smon e e poss era1t une va eur
propre réelle.
501
par u. D'après la proposition 8.26, on en déduit le sous-espace H = (Re1 ).l est
stable par tu. La dimension de H est strictement inférieure à n et on applique
l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme tu: H � H.
- Si u ne possède pas de valeur propre réelle alors on exhibe un plan vectoriel P
stable par u en considérant l'endomorphisme <97> f = u + u- 1 . Puisque u est
une isométrie on a tu= u- 1 et la matrice associée à l'endomorphisme f est une
matrice symétrique. On verra à la proposition 8.28 que tout endomorphisme
symétrique admet une valeur propre réelle. Notons e 1 un vecteur propre de f
associé à cette valeur propre À ; on a
(24)
Notons e 2 = u(ei); en appliquant l'endomorphisme u à chaque membre de
l'égalité (24) on obtient u(e 2 ) + e 1 = Àe 2 . On a donc u(ei) = e 2 et u(e 2 ) =
>.e 2 - el et on en déduit que le plan vectoriel P engendré par les vecteurs el
et e 2 est stable par u. L'endomorphisme u restreint au plan P, u: P �Pest
une isométrie et d'après l'étude en dimension 2, on sait c9 s> qu'il s'agit d'une
rotation. D'après la proposition 8.26, l'endomorphisme tu est stable par p .l
et la dimension de p .l est strictement inférieure à n. On peut donc appliquer
l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme tu : p .l
� p -1 .
D
Le théorème 8.8 n'exclut pas d'avoir r = 0 ou s = O. Autrement dit, une
isométrie d'un espace euclidien peut avoir pour matrice
U =
( e1 )
ou U =
(Re 1 )
êr
Re ,
On notera que le second cas ne peut se produire que si la dimension de E
est paire.
Cas de la dimension n = 3
Si E est un espace de dimension 3, le théorème 8.8 prend la forme suivante.
THÉORÈME 8.9 Soit u une isométrie d'un espace euclidien E de dimension 3. Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u
a l'une des formes suivantes :
ni
0
�J ni
- 1
ou
0
avec 0 E [O, 2rr[.
0
�)
1
0
ou
0
cos(B)
sin(O)
-si �(e))
cos(B)
<97> L'endomorphisme u étant une isométrie, il est en particulier inversible.
<9 3 > C · é ·
. é
. . d'
.
Il
éd .
1
ette 1som tne ne peut pas être une 1som tne m 1recte smon e e poss era1t une va eur
propre réelle.