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Isométries et matrices orthogonales
•• -1- u(x)
1
1
1
1
1
Fig. 2 Symétrie par rapport à une droite vectorielle.
Cas de la dimension n > 2
Dans le cas d'un espace euclidien de dimension n > 2, on a le résultat suivant.
THÉORÈME 8.8 Soit u une isométrie d'un espace euclidien E. Il existe une
base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est de la forme
1c1
0
U=
0
Re.
avec r EN, s EN et où pour tout i E {1, ... , r }, ci E {-1, +1} et pour tout
j E {l, ... ,s }, (}i E (0,27r[.
Démonstration La démonstration est basée sur une récurrence sur la dimension n de l'espace euclidien E dont le principe est le suivant.
12'. Dans le cas n = 1 , le résultat est immédiat puisque les seules isométries de IR
sont les applications x E R 1-+ x et x E R 1-+ -x dont les matrices dans une
base de R sont respectivement (1) et ( - 1).
12'. Supposons que le théorème soit vrai pour tout espace euclidien de dimension
inférieure strictement à n. Considérons une isométrie u d'un espace euclidien
de dimension n. On distingue deux cas.
- Si u possède au moins une valeur propre réelle alors on note e1 un vecteur
. , '
1
0
( 96) 1 d . lll>
hl
propre associe a cette va eur propre. n remarque que a ro1te �e1 est sta e
<95l C'est-à-dire que si x E 1Re1 alors u(x) E Re1 , voir la définition 8.20.