Algèbre bilinéaire
Cas de la dimension n = 2
On déduit de l'étude effectuée à la p. 497, le résultat suivant.
THÉORÈME 8. 7 Les rotations du plan ont pour matrice
R = (cos((} )
8
sin((})
- sin((}) )
cos(B)
avec (} E [O, 27r[,
et les isométries indirectes du plan ont pour matrice
499
Géométriquement, les isométries indirectes correspondent à des symétries par
rapport à une droite vectorielle. Cette droite peut être déterminée en trouvant
l'espace propre associé à la valeur propre + 1.
Exemple Considérons l'endomorphisme u de l'espace vectoriel IR 2 dont la matrice dans la base canonique (e1 , e 2 ) de IR 2 est
On vérifie aisément que la matrice A est orthogonale (par exemple en vérifiant
que les deux colonnes de cette matrice forment une base orthonormale de IR 2 ) .
Par conséquent, l'endomorphisme u est une isométrie. Puisque le déterminant
de A vaut -:-1, il s'agit d'une isométrie indirecte.
Recherchons une base de JR. 2 dans laquelle la matrice de u est égale à la matrice
S = G � 1 ). Pour cela, on diagonalise la matrice A. Un vecteur propre
associé à la valeur propre 1 est le vecteur é1 = (1, J2-1) et un vecteur propre
associé à la valeur propre -1 est le vecteur é 2
=
(1, -J2 - 1). Ainsi, dans la
base (é1, é 2 ), la matrice de l'endomorphisme u vaut S :
Si on désigne par x1 et x 2 les deux composantes d'un vecteur x E IR 2 dans la
base (é1, é 2 ) alors on a
L'application u est la symétrie par rapport à la droite vectorielle dirigée par le
vecteur é1.