Algèbre bilinéaire
Pour toute famille libre à p éléments { e1, e2, ... , ep}, la famille
{ c1, c2, ... , cp} définie par la relation (19) est orthogonale
et ces deux familles engendrent le même espace vectoriel.
487
� La propriété (P1) est vraie : en effet, si une famille à un élément { c1} est libre
alors cet élément est non nul. La famille { c1} est alors une famille orthogonale
puisque toute famille à un seul élément non nul est orthogonale.
� Supposons que la propriété (Pq) est vraie pour q EN* et montrons que la propriété (Pq+1) est vraie. Considérons une famille à q+l éléments { e1, ez, ... , eq+1}
et construisons la famille { c1, c2, ... , cq+l} en utilisant la relation (19). Puisque
le procédé de construction est itératif, les q premiers vecteurs {ci, c2, ... , cq}
sont construit à partir des q premiers vecteurs {e1, e2, ... ,eq}· Par hypothèse
de récurrence, la famille { c1, c2, ... , cq} est donc orthogonale et engendre le
même espace vectoriel que la famille {e1, ez, ... , eq}·
Pour montrer que la famille { c1, c2, ... , cq+l} est orthogonale, montrons que le
vecteur cq+l est orthogonal aux autres vecteurs ck pour k E {1, ... , q}. On a
� (c i , eq+1)
cq+1 = eq+1 - � llci ll 2 c i ,
et en effectuant le produit scalaire de cq+l avec un vecteur ck où k E {1, ... , q},
on obtient
(
) (
) � (c i , eq+1) ( )
C q+l, C k = eq+l, C k - � llci11 2 Ci , C k .
Puisque la famille {c1, c2, ... ,cq} est orthogonale, les termes (c i ,ck) apparaissant dans la dernière somme sont nuls excepté le terme correspondant à la
valeur i = k. On obtient donc
)
(ck, eq+i) (
)
(cq+l, ck) = (eq+1, ck - llckll 2 ck, ck = 0,
ce qui permet de conclure que la famille { c1, c2, ... , cq+ i} est orthogonale.
Il reste à prouver que la famille {c1, c2, . . .,cq+i} engendre le même espace
que la famille { e1, e2, . . ., eq+l }. Par hypothèse de récurrence, les deux familles { e1, ez, . .. , eq} et { c1, c2, .. ., cq} engendrent le même espace. Puisque
eq+l s'exprime comme combinaison linéaire de cq+l et des autres ck, on en
déduit que l'espace engendré par { e1, ez, ... , eq+d est inclus dans celui engendré par {c1, c2, ... ,cq+i}· De même, cq+l est défini (voir la proposition 8.20)
comme combinaison linéaire de eq+l et des ck, k E {1, ... , q}, ces derniers
étant eux-mêmes des combinaisons des ek, k E {1, ... , q} ; l'espace engendré
par { c1, c2, ... , cq+i} est donc inclus dans celui engendré par { e1, ez, ... , eq+l} .
Finalement on peut conclure·que les espaces vectoriels engendrés par les deux
familles { c1, c2, ... , cq+l} et { e1, ez, ... , eq+l} sont égaux.
D
Re marque Puisque les vecteurs c i sont non nuls, on a llc i ll =/. 0 et on peut
diviser chacun des vecteurs de {c1, c2, ... ,cp} par sa norme afin d'obtenir une
famille orthonormale.
o
Pour toute famille libre à p éléments { e1, e2, ... , ep}, la famille
{ c1, c2, ... , cp} définie par la relation (19) est orthogonale
et ces deux familles engendrent le même espace vectoriel.
487
� La propriété (P1) est vraie : en effet, si une famille à un élément { c1} est libre
alors cet élément est non nul. La famille { c1} est alors une famille orthogonale
puisque toute famille à un seul élément non nul est orthogonale.
� Supposons que la propriété (Pq) est vraie pour q EN* et montrons que la propriété (Pq+1) est vraie. Considérons une famille à q+l éléments { e1, ez, ... , eq+1}
et construisons la famille { c1, c2, ... , cq+l} en utilisant la relation (19). Puisque
le procédé de construction est itératif, les q premiers vecteurs {ci, c2, ... , cq}
sont construit à partir des q premiers vecteurs {e1, e2, ... ,eq}· Par hypothèse
de récurrence, la famille { c1, c2, ... , cq} est donc orthogonale et engendre le
même espace vectoriel que la famille {e1, ez, ... , eq}·
Pour montrer que la famille { c1, c2, ... , cq+l} est orthogonale, montrons que le
vecteur cq+l est orthogonal aux autres vecteurs ck pour k E {1, ... , q}. On a
� (c i , eq+1)
cq+1 = eq+1 - � llci ll 2 c i ,
et en effectuant le produit scalaire de cq+l avec un vecteur ck où k E {1, ... , q},
on obtient
(
) (
) � (c i , eq+1) ( )
C q+l, C k = eq+l, C k - � llci11 2 Ci , C k .
Puisque la famille {c1, c2, ... ,cq} est orthogonale, les termes (c i ,ck) apparaissant dans la dernière somme sont nuls excepté le terme correspondant à la
valeur i = k. On obtient donc
)
(ck, eq+i) (
)
(cq+l, ck) = (eq+1, ck - llckll 2 ck, ck = 0,
ce qui permet de conclure que la famille { c1, c2, ... , cq+ i} est orthogonale.
Il reste à prouver que la famille {c1, c2, . . .,cq+i} engendre le même espace
que la famille { e1, e2, . . ., eq+l }. Par hypothèse de récurrence, les deux familles { e1, ez, . .. , eq} et { c1, c2, .. ., cq} engendrent le même espace. Puisque
eq+l s'exprime comme combinaison linéaire de cq+l et des autres ck, on en
déduit que l'espace engendré par { e1, ez, ... , eq+d est inclus dans celui engendré par {c1, c2, ... ,cq+i}· De même, cq+l est défini (voir la proposition 8.20)
comme combinaison linéaire de eq+l et des ck, k E {1, ... , q}, ces derniers
étant eux-mêmes des combinaisons des ek, k E {1, ... , q} ; l'espace engendré
par { c1, c2, ... , cq+i} est donc inclus dans celui engendré par { e1, ez, ... , eq+l} .
Finalement on peut conclure·que les espaces vectoriels engendrés par les deux
familles { c1, c2, ... , cq+l} et { e1, ez, ... , eq+l} sont égaux.
D
Re marque Puisque les vecteurs c i sont non nuls, on a llc i ll =/. 0 et on peut
diviser chacun des vecteurs de {c1, c2, ... ,cp} par sa norme afin d'obtenir une
famille orthonormale.
o