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Produit scalaire sur un espace vectoriel
PYTHAGORE (vers 500 avant J.-C., Grèce).
Mathématicien et philosophe grec, Pythagore est né dans l'île de
Samos. Sa vie et son œuvre restent mal connues. Pythagore créa
à Crotone dans le sud de l'Italie en 529 avant J.-C. une École où
il professait les mathématiques et la philosophie, attirant autour
de lui un certain nombre de disciples. Ils forment une communauté aux règles de vie très strictes dont le but est d'abord
philosophique puis politique. La philosophie pythagoricienne
met en avant la toute puissance du nombre qui doit pouvoir
expliquer le monde. Les disciples doivent prêter serment de ne pas divulguer les
connaissances qui leur sont révélées. On doit aux pythagoriciens la découverte de
l'incommensurabilité de V2, autrement dit le fait que V2 est un nombre irrationnel.
Pythagore fut assassiné avec de nombreux disciples dans l'incendie de l'école.
8.2.3 Procédé d'orthogonalisation de Schmidt
D'après le théorème 8.1, dans tout IR-espace vectoriel E de dimension finie
et pour toute forme quadratique q sur E, il existe une base q-orthogona. Je.
La démonstration de ce théorème établit l'existence d'une telle base mais ne
fournit pas de moyen de construire une telle base. Dans le cas d'un espace
préhilbertien, en plus d'une notion d'orthogonalité «naturelle » (celle associée
à la forme quadratique issue du produit scalaire) nous disposons de la notion de
produit scalaire. La méthode d'orthogonalisation de Schmidt est une méthode
permettant, à l'aide du produit scalaire, de construire des bases orthogonales
à partir d'une base quelconque.
PROPOSITION 8.20 (Orthogonalisation de Schmidt)
Soient E un espace préhilbertien et { e1, e2, ... , ep} une famille libre de E. La
famille ( €1, €2, ... , êp) définie par récurrence par
et pour tout k E {2, ... ,p}
(19)
est une famille orthogonale qui engendre le même espace vectoriel que la famille {e1,e2, ... ,ep}·
Démonstration Montrons par récurrence sur l'entier p E N* la propriété (Pp)
suivante :
<12> On connaissait ce résultat avant l'époque de Pythagore; on a en particulier retrouvé des
tablettes d'argile gravées par les Babyloniens vers 1800 av . J .-C. donnant les longueurs
des cotés de triangles rectangles.
Produit scalaire sur un espace vectoriel
PYTHAGORE (vers 500 avant J.-C., Grèce).
Mathématicien et philosophe grec, Pythagore est né dans l'île de
Samos. Sa vie et son œuvre restent mal connues. Pythagore créa
à Crotone dans le sud de l'Italie en 529 avant J.-C. une École où
il professait les mathématiques et la philosophie, attirant autour
de lui un certain nombre de disciples. Ils forment une communauté aux règles de vie très strictes dont le but est d'abord
philosophique puis politique. La philosophie pythagoricienne
met en avant la toute puissance du nombre qui doit pouvoir
expliquer le monde. Les disciples doivent prêter serment de ne pas divulguer les
connaissances qui leur sont révélées. On doit aux pythagoriciens la découverte de
l'incommensurabilité de V2, autrement dit le fait que V2 est un nombre irrationnel.
Pythagore fut assassiné avec de nombreux disciples dans l'incendie de l'école.
8.2.3 Procédé d'orthogonalisation de Schmidt
D'après le théorème 8.1, dans tout IR-espace vectoriel E de dimension finie
et pour toute forme quadratique q sur E, il existe une base q-orthogona. Je.
La démonstration de ce théorème établit l'existence d'une telle base mais ne
fournit pas de moyen de construire une telle base. Dans le cas d'un espace
préhilbertien, en plus d'une notion d'orthogonalité «naturelle » (celle associée
à la forme quadratique issue du produit scalaire) nous disposons de la notion de
produit scalaire. La méthode d'orthogonalisation de Schmidt est une méthode
permettant, à l'aide du produit scalaire, de construire des bases orthogonales
à partir d'une base quelconque.
PROPOSITION 8.20 (Orthogonalisation de Schmidt)
Soient E un espace préhilbertien et { e1, e2, ... , ep} une famille libre de E. La
famille ( €1, €2, ... , êp) définie par récurrence par
et pour tout k E {2, ... ,p}
(19)
est une famille orthogonale qui engendre le même espace vectoriel que la famille {e1,e2, ... ,ep}·
Démonstration Montrons par récurrence sur l'entier p E N* la propriété (Pp)
suivante :
<12> On connaissait ce résultat avant l'époque de Pythagore; on a en particulier retrouvé des
tablettes d'argile gravées par les Babyloniens vers 1800 av . J .-C. donnant les longueurs
des cotés de triangles rectangles.