Algèbre bilinéaire
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HILBERT, David (1862, Konigsberg - 1943, Gottingen) .
Hilbert, dont l'œuvre est immense, est unanimement reconnu
comme la figure emblématique des mathématiques du 20• siècle.
Professeur à l'université de Gottingen, il fit de cette ville le
centre des mathématiques du début du 20• siècle. En août 1900,
au Second Congrès International des Mathématiciens, Hilbert
a exposé 23 problèmes. Ces problèmes ont depuis été au cœur
de nombreuses recherches et il en reste à l'heure actuelle trois
.
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.
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.
qm ne sont pas reso us . 1 ert a mtro mt es espaces qm
portent son nom dans le cadre de son travail sur des équations
intégrales.
THÉORÈME 8.6 (Théorème de Pythagore)
Soient x et y deux vecteurs d'un espace préhilbertien E. Les deux assertions
suivantes sont équivalentes :
- x et y sont orthogonaux,
- !l x+ Yll 2 = ll x ll 2 + llYll 2 ·
Démonstration Dans un espace préhilbertien E, pour tout (x, y) E E 2 on a < 71>
!l x+ Yll 2 = ll x ll 2 + 2(x, Y ) + llYll 2
·
Par définition, deux vecteurs x et y sont orthogonaux si et seulement si
(x, y) = 0 ce qui établit le résultat.
0
Dans le cas où l'espace préhilbertien E est l'espace vectoriel JR 2 muni du produit scalaire canonique, le théorème de Pythagore s'interprète de la manière
suivante < 72> : «le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle
est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des cotés du triangle ».
X
fl x lf
·· · ·· . ._Jl y ff
ll x+y ll x+y
y
Fig. 1 Illustration du théorème de Pythagore dans le plan IR2 .
( 7o ) Vo ir par exemple à. ce sujet : J. GRAY, Le défi de Hilbert, un siècle de mathématiques,
Dunod, 2003.
( 7 l ) Cette relation a été établie dans la preuve de la proposition 8.19.