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Produit scalaire sur un espace vectoriel
EUCLIDE (vers 295 avant J.-C., Grèce).
On ne sait que très peu de choses sur la vie d'Euclide en dehors du fait qu'il ait enseigné les mathématiques à Alexandrie.
Il est connu pour être le fondateur de )'École d'Alexandrie qui influença entre autres les travaux d'Archimède. Les théories d'Euclide, dont l'œuvre maîtresse est constituée des ÉJéments < 6 9 > ,
sont une référence dans l'histoire des mathématiques. Parmi les
cinq axiomes énoncés dans les Éléments, on trouve le célèbre
postulat d'Euclide : « par tout point du plan passe une et une
seule droite parallèle à une autre droite ». Cet axiome constitue
le fondement de la « géométrie euclidienne » .
8.2.2 Espace euclidien
DÉFINITION 8.16
X On appelle espace préhilbertien un IR-espace vectoriel muni d'un produit
scalaire.
X On appelle espace euclidien un espace préhilbertien de dimension finie.
Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera (x, y) le produit scalaire entre
deux éléments x et y, et ll x ll la norme associée. Un espace euclidien correspond
à la donnée d'un couple (E, ( . , - )) formé d'un IR-espace vectoriel de dimension
finie et d'un produit scalaire sur cet espace.
Avec ces notations, l'inégalité de Cauchy-Schwarz (théorème 8.5) se réécrit
\f(x, y) E E 2
l (x, Y ) I :::; ; ll x ll llYll·
Puisqu'à un produit scalaire (., ·) on peut toujours associer une norme Il · Il
(voir la proposition 8.19), un espace euclidien (E, ( . , · )) est toujours un espace
vectoriel normé (E, 11 · I l ).
Réciproquement, on peut montrer que tout espace vectoriel normé (E, li · li ) où
la norme satisfait la relation suivante, appelée identité du parallélogramme,
\i(x, y) E E 2 ll x + Yll 2 + llx - Yll 2 = 2 (llxll 2 + llYll 2 )
est un espace préhilbertien.
Le produit scalaire étant une forme bilinéaire, dans un espace préhilbertien,
il existe une notion d'orthogonalité intrinsèque qui est définie par ce produit
scalaire et on a le théorème suivant.
< 0 9 > On pourra consulter une version numérisée de cette œuvre sur GALLICA, la bibliothèque
numérique de la Bibliothèque Nationale de France :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110982q
Produit scalaire sur un espace vectoriel
EUCLIDE (vers 295 avant J.-C., Grèce).
On ne sait que très peu de choses sur la vie d'Euclide en dehors du fait qu'il ait enseigné les mathématiques à Alexandrie.
Il est connu pour être le fondateur de )'École d'Alexandrie qui influença entre autres les travaux d'Archimède. Les théories d'Euclide, dont l'œuvre maîtresse est constituée des ÉJéments < 6 9 > ,
sont une référence dans l'histoire des mathématiques. Parmi les
cinq axiomes énoncés dans les Éléments, on trouve le célèbre
postulat d'Euclide : « par tout point du plan passe une et une
seule droite parallèle à une autre droite ». Cet axiome constitue
le fondement de la « géométrie euclidienne » .
8.2.2 Espace euclidien
DÉFINITION 8.16
X On appelle espace préhilbertien un IR-espace vectoriel muni d'un produit
scalaire.
X On appelle espace euclidien un espace préhilbertien de dimension finie.
Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera (x, y) le produit scalaire entre
deux éléments x et y, et ll x ll la norme associée. Un espace euclidien correspond
à la donnée d'un couple (E, ( . , - )) formé d'un IR-espace vectoriel de dimension
finie et d'un produit scalaire sur cet espace.
Avec ces notations, l'inégalité de Cauchy-Schwarz (théorème 8.5) se réécrit
\f(x, y) E E 2
l (x, Y ) I :::; ; ll x ll llYll·
Puisqu'à un produit scalaire (., ·) on peut toujours associer une norme Il · Il
(voir la proposition 8.19), un espace euclidien (E, ( . , · )) est toujours un espace
vectoriel normé (E, 11 · I l ).
Réciproquement, on peut montrer que tout espace vectoriel normé (E, li · li ) où
la norme satisfait la relation suivante, appelée identité du parallélogramme,
\i(x, y) E E 2 ll x + Yll 2 + llx - Yll 2 = 2 (llxll 2 + llYll 2 )
est un espace préhilbertien.
Le produit scalaire étant une forme bilinéaire, dans un espace préhilbertien,
il existe une notion d'orthogonalité intrinsèque qui est définie par ce produit
scalaire et on a le théorème suivant.
< 0 9 > On pourra consulter une version numérisée de cette œuvre sur GALLICA, la bibliothèque
numérique de la Bibliothèque Nationale de France :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110982q