1. 'v'x E E N(x) � 0,
Algêbre bilinéaire
2. 'v'x E E N(x) = 0 ===} x = 0,
3. 'v'x E E 'v'>. E lR N(>.x) = i >.I N(x),
4. 'v'(x, y) E E 2 N(x +y) � N(x) + N(y).
483
La première condition est évidente d'après la définition de N. La deuxième
résulte du fait que cp est une forme bilinéaire définie. La t.roisième condition
découle de manière immédiate de la bilinéarité de cp. Afin de montrer la dernière
condition, considérons (x, y) E E 2 • Par définition de l'application N, on a
N(x + y) 2 = cp(x + y, x + y).
L'application cp étant bilinéaire et symétrique, on en déduit que
N(x + y) 2 = N{x) 2 + 2cp(x, y) + N(y) 2 .
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz (voir le théorème 8.5), on a
cp(x, y) � Jcp(x, x) Jcp(y, y) = N(x) N(y).
On en déduit que
N(x + y) 2 � N(x) 2 + 2N(x)N(y) + N(y) 2 = (N(x) + N(y)) 2 .
La quatrième condition est établie.
0
Exercice 8.5 En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas du
produit scalaire canonique de IR" (voir p. 482), montrer l'inégalité :
( 1 1 ) 2
(xi + ···+ Xn) - + · · · + - � n ,
X1
Xn
puis étudier pour quelles valeurs de ( x1 , ... , Xn) E (JR+ )" on a égalité des
deux membres de l'inégalité précédente.