482
Produit scalaire sur un espace vectoriel
SCHWARZ, Hermann-Amandus (1843, Hermsdorf - 1921, Berlin) .
Schwarz fit des études de chimie et de mathématiques à Berlin.
Les travaux de Schwarz sont marqués par une forte interaction
entre l'analyse et la géométrie. Son mémoire de thèse avait trait
aux surfaces d'aire minimale. En 1884, il résolut le problème isopérimétrique en dimension 3 qui consiste à trou ver une surface
d'aire minimale qui délimite un volume maximal. Schwarz réalisa également des travaux importants en analyse fonctionnelle :
étude des fonctions analytiques, des fonctions holomorphes et de
la théorie du potentiel.
Ainsi, l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité si et seulement si <67>
les vecteurs x et y sont liés.
·
L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet, en effectuant des choix particuliers de
produits scalaires, d'obtenir de nombreuses inégalités classiques < 6 8> :
- Dans !R n , l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire canonique
(voir l'exemple p. 479) s'écrit :
Cette relation a été donnée dans le Cours de première année p. 101, proposition 3.6.
- En utilisant le produit scalaire cp : (f,g) E C([O, l],IR) 2 � f0 1 f(t)g(t) dt,
l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient
V (f,g) E C([O, l],IR) 2 (fo 1 f(t)g(t) dt)
2
� (fo 1 f(t) 2 dt) (fo 1 g(t) 2 dt) .
Cette relation a été donnée dans le Cours de première année p. 846, proposition 18.6.
PROPOSITION 8.19 Soit cp est un produit scalaire sur un IR-espace vectoriel E. L'application N: x E E � Jcp(x, x) est une norme sur E, appelée
norme associée au produit scalaire cp.
Démonstration D'après la définition 7.3 p. 358, pour montrer que l'application N est une norme, il faut montrer que :
< 6 7 ) La réciproque est immédiate : si x et y sont liés alors l'égalité cp(x, y)2 = cp(x, x)cp(y, y)
est vraie, d'après la bilinéarité de l'application cp.
( 6 8> Voir par exemple le Coui·s de première année p. 101 et 846.
Produit scalaire sur un espace vectoriel
SCHWARZ, Hermann-Amandus (1843, Hermsdorf - 1921, Berlin) .
Schwarz fit des études de chimie et de mathématiques à Berlin.
Les travaux de Schwarz sont marqués par une forte interaction
entre l'analyse et la géométrie. Son mémoire de thèse avait trait
aux surfaces d'aire minimale. En 1884, il résolut le problème isopérimétrique en dimension 3 qui consiste à trou ver une surface
d'aire minimale qui délimite un volume maximal. Schwarz réalisa également des travaux importants en analyse fonctionnelle :
étude des fonctions analytiques, des fonctions holomorphes et de
la théorie du potentiel.
Ainsi, l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité si et seulement si <67>
les vecteurs x et y sont liés.
·
L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet, en effectuant des choix particuliers de
produits scalaires, d'obtenir de nombreuses inégalités classiques < 6 8> :
- Dans !R n , l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire canonique
(voir l'exemple p. 479) s'écrit :
Cette relation a été donnée dans le Cours de première année p. 101, proposition 3.6.
- En utilisant le produit scalaire cp : (f,g) E C([O, l],IR) 2 � f0 1 f(t)g(t) dt,
l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient
V (f,g) E C([O, l],IR) 2 (fo 1 f(t)g(t) dt)
2
� (fo 1 f(t) 2 dt) (fo 1 g(t) 2 dt) .
Cette relation a été donnée dans le Cours de première année p. 846, proposition 18.6.
PROPOSITION 8.19 Soit cp est un produit scalaire sur un IR-espace vectoriel E. L'application N: x E E � Jcp(x, x) est une norme sur E, appelée
norme associée au produit scalaire cp.
Démonstration D'après la définition 7.3 p. 358, pour montrer que l'application N est une norme, il faut montrer que :
< 6 7 ) La réciproque est immédiate : si x et y sont liés alors l'égalité cp(x, y)2 = cp(x, x)cp(y, y)
est vraie, d'après la bilinéarité de l'application cp.
( 6 8> Voir par exemple le Coui·s de première année p. 101 et 846.