Algèbre bilinéaire
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2. La forme quadratique q donnée sur JR4 par
q(x) = fi (x) 2 + 2 f2(x) 2 + 2 f3(x) 2 ,
où fi , h et h sont les trois formes linéaires de l'exemple précédent, a pour
signature (3, 0) et ne définit donc pas un produit scalaire sur IR4. Bien entendu, cette forme quadratique est positive mais puisque que sa décomposition
en somme de carrés de formes linéaires indépendantes ne comporte que trois
termes, on peut trouver un élément x E IR4 non nul tel que q(x) = O. Par
exemple, le vecteur x = (1, 1, 1, -2) annule les trois formes linéaires fi , h et h
et donc annule aussi la forme quadratique q.
THÉORÈME 8.5 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tout produit scalaire \l(x, y) E E 2 cp(x, y) 2 � cp(x, x) cp(y, y).
Démonstration Considérons un produit scalaire L'application bilinéaire tout t E lR . De plus, en vertu de la bilinéarité de cp(x + ty, x + ty) = t 2 cp(y, y) + 2tcp(x, y) + cp(x, x).
On en déduit que l'application t E lR 1--+ cp(x + ty, x + ty) est une application
polynomiale de degré 2 qui est à valeurs positives. Elle admet donc au plus une
racine réelle et par conséquent, son discriminant 6. est négatif. Ce discriminant
vaut :
6. = 4cp(x, y) 2 - 4cp(y, y)cp(x, x)
et l'inégalité 6. � 0 correspond exactement à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 0
Au cours de la preuve, on peut remarquer les deux choses suivantes.
- A aucun moment de la preuve nous avons utilisé le fait que la forme bilinéaire vraie pour une forme bilinéaire symétrique et positive.
- On peut trouver les conditions sur les vecteurs x et y pour que l'inégalité de
Cauchy-Schwarz devienne l'égalité
cp(x, y) 2 = cp(x, x)cp(y, y).
(18)
En effet, en reprenant les notations de la démonstration, l'égalité (18) a lieu si
le discriminant 6. est nul. Ceci correspond à l'existence d'une unique racine t0
pour l'application polynomiale t E lR 1--+ cp(x + ty, x + ty) :
3to E lR cp(x + toy, x + toy) =O.
Compte tenu du fait que l'application 3t0 E lR x + toy = O.
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2. La forme quadratique q donnée sur JR4 par
q(x) = fi (x) 2 + 2 f2(x) 2 + 2 f3(x) 2 ,
où fi , h et h sont les trois formes linéaires de l'exemple précédent, a pour
signature (3, 0) et ne définit donc pas un produit scalaire sur IR4. Bien entendu, cette forme quadratique est positive mais puisque que sa décomposition
en somme de carrés de formes linéaires indépendantes ne comporte que trois
termes, on peut trouver un élément x E IR4 non nul tel que q(x) = O. Par
exemple, le vecteur x = (1, 1, 1, -2) annule les trois formes linéaires fi , h et h
et donc annule aussi la forme quadratique q.
THÉORÈME 8.5 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tout produit scalaire \l(x, y) E E 2 cp(x, y) 2 � cp(x, x) cp(y, y).
Démonstration Considérons un produit scalaire L'application bilinéaire tout t E lR . De plus, en vertu de la bilinéarité de cp(x + ty, x + ty) = t 2 cp(y, y) + 2tcp(x, y) + cp(x, x).
On en déduit que l'application t E lR 1--+ cp(x + ty, x + ty) est une application
polynomiale de degré 2 qui est à valeurs positives. Elle admet donc au plus une
racine réelle et par conséquent, son discriminant 6. est négatif. Ce discriminant
vaut :
6. = 4cp(x, y) 2 - 4cp(y, y)cp(x, x)
et l'inégalité 6. � 0 correspond exactement à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 0
Au cours de la preuve, on peut remarquer les deux choses suivantes.
- A aucun moment de la preuve nous avons utilisé le fait que la forme bilinéaire vraie pour une forme bilinéaire symétrique et positive.
- On peut trouver les conditions sur les vecteurs x et y pour que l'inégalité de
Cauchy-Schwarz devienne l'égalité
cp(x, y) 2 = cp(x, x)cp(y, y).
(18)
En effet, en reprenant les notations de la démonstration, l'égalité (18) a lieu si
le discriminant 6. est nul. Ceci correspond à l'existence d'une unique racine t0
pour l'application polynomiale t E lR 1--+ cp(x + ty, x + ty) :
3to E lR cp(x + toy, x + toy) =O.
Compte tenu du fait que l'application 3t0 E lR x + toy = O.