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Produit scalaire sm· un espace vectoriel
PROPOSITION 8.18 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie ég ale
à n et q une forme quadratique sur E. La forme polaire de q est un produit
scalaire si et seulement si sa signature est ( n, 0).
Démonstration !2 Supposons que q soit un produit scalaire sur E. Puisque la
forme quadratique q est positive, sa décomposition en carrés de formes linéaires
indépendantes donnée par le théorème 8.4 s'écrit q = I:;=l o:dl. De plus, on
peut montrer comme dans la preuve de la proposition 8.17 que si la forme
quadratique q est positive alors tous les coefficients Œi sont strictement positifs.
La signature de q est donc (r, 0).
Montrons en raisonnant par l'absurde que r = n. Supposons que r < n. Puisque
les r formes linéaires fi ,. .. .fr sont indépendantes, on sait d'après la proposition 8.15 que l'espace vectoriel ni= 1 Ker(fi) est de dimension n - r > O. Par
conséquent, il existe X E nr=l Ker(fi) tel que X =F o. Ce vecteur non nul satisfait
q(x) = 0 ce qui est impossible car q est positive.
!2 Réciproquement, supposons que la signature de q soit (n, 0). La décomposition de q en carrés de formes linéaires indépendantes (voir le théorème 8.4)
s'écrit q = I:�=l o:dl où tous les coefficients Œi sont strictement positifs. Il
s'ensuit que pour tout x E E, q(x) ? 0 (donc que la forme quadratique q est
positive) et que si q(x) = 0 alors fi(x) = 0 pour tout i E {1, . . . , n }. Puisque la
famille (!1 , ... , f n ) est une base de E* , ceci implique que f (x) = 0 pour toute
forme linéaire f E E* . On en conclut, d'après la proposition 8.13 que x =O. 0
Remarque On dit qu'une forme quadratique permet de définir un produit
scalaire, lorsque sa forme polaire associée est un produit scalaire.
o
Exemples
1. La forme quadratique q donnée sur JR 4 par
admet pour écriture en somme de carrés de formes linéaires indépendantes (voir
l'exemple de la p. 470) :
q(x) = fi (x) 2 - f2(x) 2 - f3(x) 2 - 3f 4 (x) 2
où les formes linéaires fi sont données par : fi (x) = hx1 + x 2 + 2x3 + 2x 4 ),
f2(x) = �(x1 -x 2 ), h(x) = x3+�x 4 et f 4 (x) = �x 4 . On en déduit que la signature de q vaut (1, 3). En vertu de la proposition 8.18, cette forme quadratique
ne permet pas de définir un produit scalaire sur JR 4 . À partir de la décomposition de q en somme de carrés de formes linéaires, on peut trouver un vecteur
non nul x E JR 4 tel que q(x) < 0 (ce qui prouve que q n'est pas une forme
quadratique positive), par exemple pour x = (1, - 1, 0, 0) on a q(x) = - 1 (plus
généralement n'importe quel vecteur x non nul dans le noyau de l'application
linéaire fi est tel que q(x) < 0).
Produit scalaire sm· un espace vectoriel
PROPOSITION 8.18 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie ég ale
à n et q une forme quadratique sur E. La forme polaire de q est un produit
scalaire si et seulement si sa signature est ( n, 0).
Démonstration !2 Supposons que q soit un produit scalaire sur E. Puisque la
forme quadratique q est positive, sa décomposition en carrés de formes linéaires
indépendantes donnée par le théorème 8.4 s'écrit q = I:;=l o:dl. De plus, on
peut montrer comme dans la preuve de la proposition 8.17 que si la forme
quadratique q est positive alors tous les coefficients Œi sont strictement positifs.
La signature de q est donc (r, 0).
Montrons en raisonnant par l'absurde que r = n. Supposons que r < n. Puisque
les r formes linéaires fi ,. .. .fr sont indépendantes, on sait d'après la proposition 8.15 que l'espace vectoriel ni= 1 Ker(fi) est de dimension n - r > O. Par
conséquent, il existe X E nr=l Ker(fi) tel que X =F o. Ce vecteur non nul satisfait
q(x) = 0 ce qui est impossible car q est positive.
!2 Réciproquement, supposons que la signature de q soit (n, 0). La décomposition de q en carrés de formes linéaires indépendantes (voir le théorème 8.4)
s'écrit q = I:�=l o:dl où tous les coefficients Œi sont strictement positifs. Il
s'ensuit que pour tout x E E, q(x) ? 0 (donc que la forme quadratique q est
positive) et que si q(x) = 0 alors fi(x) = 0 pour tout i E {1, . . . , n }. Puisque la
famille (!1 , ... , f n ) est une base de E* , ceci implique que f (x) = 0 pour toute
forme linéaire f E E* . On en conclut, d'après la proposition 8.13 que x =O. 0
Remarque On dit qu'une forme quadratique permet de définir un produit
scalaire, lorsque sa forme polaire associée est un produit scalaire.
o
Exemples
1. La forme quadratique q donnée sur JR 4 par
admet pour écriture en somme de carrés de formes linéaires indépendantes (voir
l'exemple de la p. 470) :
q(x) = fi (x) 2 - f2(x) 2 - f3(x) 2 - 3f 4 (x) 2
où les formes linéaires fi sont données par : fi (x) = hx1 + x 2 + 2x3 + 2x 4 ),
f2(x) = �(x1 -x 2 ), h(x) = x3+�x 4 et f 4 (x) = �x 4 . On en déduit que la signature de q vaut (1, 3). En vertu de la proposition 8.18, cette forme quadratique
ne permet pas de définir un produit scalaire sur JR 4 . À partir de la décomposition de q en somme de carrés de formes linéaires, on peut trouver un vecteur
non nul x E JR 4 tel que q(x) < 0 (ce qui prouve que q n'est pas une forme
quadratique positive), par exemple pour x = (1, - 1, 0, 0) on a q(x) = - 1 (plus
généralement n'importe quel vecteur x non nul dans le noyau de l'application
linéaire fi est tel que q(x) < 0).