Algèbre bilinéaire
479
DÉ FINITION 8.15 (Produit scalaire)
On appelle produit scalaire sur un IR-espace vectoriel E une forme bilinéaire
symétrique définie positive.
Pour établir qu'une forme bilinéaire cp est un produit scalaire, il faut montrer
que :
- l'application cp est symétrique : 'v'(x, y) E E 2 cp(x, y) = cp(y, x),
- la forme quadratique q : x E E � cp(x, x) est définie positive :
· 'v'x E E cp(x, x) � 0,
· Vx EE (cp(x, x) =O ===> x =ü ) .
Exemples
1. La forme bilinéaire sur !R n , appelé produit scalaire canonique. Matriciellement, on a
cp(x, y) = txy,
X et Y étant les matrices colonnes ayant pour coordonnées les composantes
de x et y dans la base canonique de !R n .
2. La forme bilinéaire cp : (f, g) E C([O, 1], JR.) 2
� f0 1 f(t)g(t) dt est un produit
scalaire. Le fait que cette application est bilinéaire a été montré p. 439. Elle est
clairement symétrique et le fait qu'elle soit définie positive a été établi p. 477.
3. Sur l'espace vectoriel Mn (IR) des matrices carrées de taille n à coefficients
réels, l'application cp définie par
cp : (A, B) E Mn(IR.) X Mn(IR.) f--- -+ TrC AB) E lR
est un produit scalaire. On a établi p. 439 qu'il s'agit d'une forme bilinéaire et
p. 477 que la forme quadratique qui lui est associée est définie positive.
Exercice 8.4 Soient Mn(IR) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles
de taille net Sn(IR.) le sous-espace vectoriel formé des matrices symétriques.
On considère l'application cp définie sur M n(IR) par
V(A, B) E Mn(IR.) 2 cp(A, B) = Tr(AB)
' T d' . l' l . .
(GG)
ou r es1gne app icat10n trace .
1 - Montrer que cp est un produit scalaire sur S n (IR.).
2 - Cette application définit-elle un produit scalaire sur Mn(IR)?
< 66> Rappelons que la trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux, voir
l'exercice 5 p. 448 du Cours de première année.
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DÉ FINITION 8.15 (Produit scalaire)
On appelle produit scalaire sur un IR-espace vectoriel E une forme bilinéaire
symétrique définie positive.
Pour établir qu'une forme bilinéaire cp est un produit scalaire, il faut montrer
que :
- l'application cp est symétrique : 'v'(x, y) E E 2 cp(x, y) = cp(y, x),
- la forme quadratique q : x E E � cp(x, x) est définie positive :
· 'v'x E E cp(x, x) � 0,
· Vx EE (cp(x, x) =O ===> x =ü ) .
Exemples
1. La forme bilinéaire sur !R n , appelé produit scalaire canonique. Matriciellement, on a
cp(x, y) = txy,
X et Y étant les matrices colonnes ayant pour coordonnées les composantes
de x et y dans la base canonique de !R n .
2. La forme bilinéaire cp : (f, g) E C([O, 1], JR.) 2
� f0 1 f(t)g(t) dt est un produit
scalaire. Le fait que cette application est bilinéaire a été montré p. 439. Elle est
clairement symétrique et le fait qu'elle soit définie positive a été établi p. 477.
3. Sur l'espace vectoriel Mn (IR) des matrices carrées de taille n à coefficients
réels, l'application cp définie par
cp : (A, B) E Mn(IR.) X Mn(IR.) f--- -+ TrC AB) E lR
est un produit scalaire. On a établi p. 439 qu'il s'agit d'une forme bilinéaire et
p. 477 que la forme quadratique qui lui est associée est définie positive.
Exercice 8.4 Soient Mn(IR) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles
de taille net Sn(IR.) le sous-espace vectoriel formé des matrices symétriques.
On considère l'application cp définie sur M n(IR) par
V(A, B) E Mn(IR.) 2 cp(A, B) = Tr(AB)
' T d' . l' l . .
(GG)
ou r es1gne app icat10n trace .
1 - Montrer que cp est un produit scalaire sur S n (IR.).
2 - Cette application définit-elle un produit scalaire sur Mn(IR)?
< 66> Rappelons que la trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux, voir
l'exercice 5 p. 448 du Cours de première année.