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Produit scalaire sur un espace vectoriel
2. On dira qu'une forme bilinéaire positive si la forme quadratique qui lui est associée x E E f-->
o
PROPOSITION 8.17 Soient E un IR-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E.
X La forme quadratique q est une forme quadratique définie si et seulement si
son cône isotrope C(q) est {O} .
X Si la forme quadratique q est une forme quadratique positive alors son cône
isotrope C(q) et son noyau N(q) coïncident.
Démonstration � D'après la définition du cône isotrope d'une forme quadratique, il est immédiat qu'une forme quadratique est définie si et seulement
si son cône isotrope est { 0}.
� Considérons une forme quadratique q sur un espace vectoriel E et notons
N(q) le noyau de cette forme quadratique et C(q) son cône isotrope. L'inclusion N(q) c C(q) étant toujours vraie <6 4 > , il s'agit de prouver que si la forme
quadratique q est positive alors C(q) c N(q).
Supposons donc que la forme quadratique q est positive et considérons sa décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes (voir le théorème 8.4)
q = L�=l o:dl où r � n et où chaque O:i est un réel non nul. On montre par
l'absurde que tous les coefficients O:i sont strictement positifs : supposons que
o:io < 0 où io E {1, ... , r] . En vertu de la proposition 8.15, l'espace vectoriel
nf=l ,i#io Ker(fi) est un espace vectoriel de dimension n - (r - 1) alors que l'espace vectoriel ni= i Ker(fi) est un espace vectoriel de dimension n - r. Il existe
donc un élément non nul X dans ( nr=l # io Ker(fü) \ Ker(fio)· Pour ce choix
de xi- 0, on a q(x) = L�=l o:ifi(x) 2 = O'.iofi 0 (x) 2 < 0 ce qui contredit le fait
que la forme quadratique q est positive.
Ainsi, si x E C(q) alors on a q(x) = L�=l o:ifüx) 2 = 0 où tous les coefficients O:i sont strictement positifs, ce qui implique que fi(x) = 0 pour chaque
i E {1, ... ,r}. La forme polaire de q qui est L�=l o:di(x)fi(Y)
vérifie donc
D
Remarque On déduit c a 5> de la proposition 8.17 que, si une forme bilinéaire
\:/x E E
Par linéarité, on en déduit que si
\:/x E E
o
Produit scalaire sur un espace vectoriel
2. On dira qu'une forme bilinéaire positive si la forme quadratique qui lui est associée x E E f-->
o
PROPOSITION 8.17 Soient E un IR-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E.
X La forme quadratique q est une forme quadratique définie si et seulement si
son cône isotrope C(q) est {O} .
X Si la forme quadratique q est une forme quadratique positive alors son cône
isotrope C(q) et son noyau N(q) coïncident.
Démonstration � D'après la définition du cône isotrope d'une forme quadratique, il est immédiat qu'une forme quadratique est définie si et seulement
si son cône isotrope est { 0}.
� Considérons une forme quadratique q sur un espace vectoriel E et notons
N(q) le noyau de cette forme quadratique et C(q) son cône isotrope. L'inclusion N(q) c C(q) étant toujours vraie <6 4 > , il s'agit de prouver que si la forme
quadratique q est positive alors C(q) c N(q).
Supposons donc que la forme quadratique q est positive et considérons sa décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes (voir le théorème 8.4)
q = L�=l o:dl où r � n et où chaque O:i est un réel non nul. On montre par
l'absurde que tous les coefficients O:i sont strictement positifs : supposons que
o:io < 0 où io E {1, ... , r] . En vertu de la proposition 8.15, l'espace vectoriel
nf=l ,i#io Ker(fi) est un espace vectoriel de dimension n - (r - 1) alors que l'espace vectoriel ni= i Ker(fi) est un espace vectoriel de dimension n - r. Il existe
donc un élément non nul X dans ( nr=l # io Ker(fü) \ Ker(fio)· Pour ce choix
de xi- 0, on a q(x) = L�=l o:ifi(x) 2 = O'.iofi 0 (x) 2 < 0 ce qui contredit le fait
que la forme quadratique q est positive.
Ainsi, si x E C(q) alors on a q(x) = L�=l o:ifüx) 2 = 0 où tous les coefficients O:i sont strictement positifs, ce qui implique que fi(x) = 0 pour chaque
i E {1, ... ,r}. La forme polaire de q qui est
vérifie donc
D
Remarque On déduit c a 5> de la proposition 8.17 que, si une forme bilinéaire
\:/x E E