Algèbre bilinéaire
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1 Le terme « défini » n'est pas à prendre dans son sens usuel en mathématiques. Pour une forme quadratique q sur un espace vectoriel E, le réel q(x)
« existe » pour tout x E E.
Exemples
1. La forme quadratique q : x E � n i--+ E� 1 xf est une forme quadratique
définie et une forme quadratique positive. En effet, cette application est positive
car une somme de carrés est toujours positive. Elle est définie car q(x) = 0
implique que Xi = 0 pour tout i E { 1, ... , n}, donc que x = 0 (une somme
de réels positifs est nulle si et seulement si tous les termes la composant sont
nuls).
2. La forme quadratique q : f E C([O, 1], �) i--+ f0 1 f (t) 2 dt est aussi une forme
quadratique définie et une forme quadratique positive. La positivité provient de
la positivité de l'intégrale d'une fonction positive c oi > . C'est la continuité de f
qui permet < 02 > d'affirmer que cp(f, f) f=. 0 lorsque f f=. 0 : l'application q est
donc une forme quadratique définie.
3. La forme quadratique associée à la forme de Lorentz donnée par :
q : x E � 4 i--+ xi + x� + x� - c 2 x� avec c > 0 n'est ni positive (puisque
q((O, 0, 0, 1)) = -c 2 < 0), ni définie (puisque q((c, 0, 0, 1)) = 0).
4. La forme quadratique q : A E Mn (�) i--+ Tr( t AA) est une forme quadratique
définie et une forme quadratique positive. En effet, si on note (ai j )(i, j ) E { l , ... , n } 2
les coefficients de la matrice A alors le coefficient ( i, j) de la matrice t AA
(63) �n
L
d'
.
,
1
d
ffi .
vaut L.. k= l akiak j . a trace une matrice etant a somme e ces coe c1ents
diagonaux, on obtient
n n
q(A) = L L a % i ·
i= l k= l
On se retrouve dans le même cas que celui du premier des exemples décrits ici :
pour tout A E Mn(�), q(A) est positive car c'est une somme de carrés. Elle est
définie car q(A) = 0 implique que pour tout (i,j) E {1, . . . ,n} 2 on a% = 0,
autrement dit que A = O.
Remarques
1. On dira qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E est définie positive si elle est à la fois définie et positive. Autrement dit, une forme
quadratique q est définie positive si q(x) > 0 pour tout x E E \ {O}.
(6 1) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.
< 02 > Vo ir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
( G 3) On rappelle, voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de première année, que pour tout
(A,B) E Mn(IR) 2 le terme d'indice (i,j) du produit AxB vaut Lk=I a;k bkj· Par ailleurs,
le terme d'indice (i, k) de la matrice t A est aki·
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1 Le terme « défini » n'est pas à prendre dans son sens usuel en mathématiques. Pour une forme quadratique q sur un espace vectoriel E, le réel q(x)
« existe » pour tout x E E.
Exemples
1. La forme quadratique q : x E � n i--+ E� 1 xf est une forme quadratique
définie et une forme quadratique positive. En effet, cette application est positive
car une somme de carrés est toujours positive. Elle est définie car q(x) = 0
implique que Xi = 0 pour tout i E { 1, ... , n}, donc que x = 0 (une somme
de réels positifs est nulle si et seulement si tous les termes la composant sont
nuls).
2. La forme quadratique q : f E C([O, 1], �) i--+ f0 1 f (t) 2 dt est aussi une forme
quadratique définie et une forme quadratique positive. La positivité provient de
la positivité de l'intégrale d'une fonction positive c oi > . C'est la continuité de f
qui permet < 02 > d'affirmer que cp(f, f) f=. 0 lorsque f f=. 0 : l'application q est
donc une forme quadratique définie.
3. La forme quadratique associée à la forme de Lorentz donnée par :
q : x E � 4 i--+ xi + x� + x� - c 2 x� avec c > 0 n'est ni positive (puisque
q((O, 0, 0, 1)) = -c 2 < 0), ni définie (puisque q((c, 0, 0, 1)) = 0).
4. La forme quadratique q : A E Mn (�) i--+ Tr( t AA) est une forme quadratique
définie et une forme quadratique positive. En effet, si on note (ai j )(i, j ) E { l , ... , n } 2
les coefficients de la matrice A alors le coefficient ( i, j) de la matrice t AA
(63) �n
L
d'
.
,
1
d
ffi .
vaut L.. k= l akiak j . a trace une matrice etant a somme e ces coe c1ents
diagonaux, on obtient
n n
q(A) = L L a % i ·
i= l k= l
On se retrouve dans le même cas que celui du premier des exemples décrits ici :
pour tout A E Mn(�), q(A) est positive car c'est une somme de carrés. Elle est
définie car q(A) = 0 implique que pour tout (i,j) E {1, . . . ,n} 2 on a% = 0,
autrement dit que A = O.
Remarques
1. On dira qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E est définie positive si elle est à la fois définie et positive. Autrement dit, une forme
quadratique q est définie positive si q(x) > 0 pour tout x E E \ {O}.
(6 1) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.
< 02 > Vo ir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
( G 3) On rappelle, voir la définition 10.8 p. 398 du Cours de première année, que pour tout
(A,B) E Mn(IR) 2 le terme d'indice (i,j) du produit AxB vaut Lk=I a;k bkj· Par ailleurs,
le terme d'indice (i, k) de la matrice t A est aki·