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Produit scalaire sur un espace vectoriel
Considérons la matrice A (resp. B) représentant q (resp. q') dans une base B
de E. Matriciellement, la relation (15) se traduit sous la forme
\l(X, Y) E (� n ) 2
(16)
où P est la matrice de l'application linéaire u dans la base B et où X et Y sont
les vecteurs colonnes représentant les éléments x et y de E dans cette base.
La relation (16) étant valable pour tout (X, Y) E (� n ) 2 , on en déduit
(Go) que q
et q' sont isométriques si et seulement si il existe une matrice P E GL n (�) telle
que
A = t PBP.
(17)
La relation d'isométrie est une relation d'équivalence sur l'ensemble des formes
quadratiques sur E. Classifier les formes quadratiques pour cette relation revient à trouver les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence. Ainsi,
on dispose de deux façons pour classer les formes quadratiques : les ranger selon
leur signature ou les ranger par classe d'isométrie. On peut montrer que ces
deux classifications sont identiques.
PROPOSITION 8.16 Deux formes quadratiques sur un �-espace vectoriel de
dimension finie sont isométriques si et seulement si elles ont m�me signature.
8.2 Produit scalaire sur un espace vectoriel
8.2.1 Produit scalaire
DÉFINITION 8.14 Soient E un �-espace vectoriel et q une forme quadratique
sur E.
)(La forme quadratique q est dite positive si q(x) � 0 pour tout x E E.
)(La forme quadratique q est dite définie si q(x) -:f 0 pour tout x E E \ {O}.
Remarque Pour montrer qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E est définie, il faut montrer que si x -:f 0 alors q(x) -:f O. En pratique,
il est souvent plus simple d'utiliser la contraposée : on montre que si q(x) = 0
alors nécessairement x = O.
Inversement, pour montrer qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E n'est pas définie, il suffit de trouver un vecteur x -:f 0 pour lequel
q(x) =O.
o
(Go) Cette affirmation résulte du fait que si pour tout X E Rn on a 1XZ = 0 alors, en choisissant
X= Z on montre que nécessairement Z =O . De même, si pour tout Y E Rn on a tzy = 0
alors on montre que Z = O.
Produit scalaire sur un espace vectoriel
Considérons la matrice A (resp. B) représentant q (resp. q') dans une base B
de E. Matriciellement, la relation (15) se traduit sous la forme
\l(X, Y) E (� n ) 2
(16)
où P est la matrice de l'application linéaire u dans la base B et où X et Y sont
les vecteurs colonnes représentant les éléments x et y de E dans cette base.
La relation (16) étant valable pour tout (X, Y) E (� n ) 2 , on en déduit
(Go) que q
et q' sont isométriques si et seulement si il existe une matrice P E GL n (�) telle
que
A = t PBP.
(17)
La relation d'isométrie est une relation d'équivalence sur l'ensemble des formes
quadratiques sur E. Classifier les formes quadratiques pour cette relation revient à trouver les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence. Ainsi,
on dispose de deux façons pour classer les formes quadratiques : les ranger selon
leur signature ou les ranger par classe d'isométrie. On peut montrer que ces
deux classifications sont identiques.
PROPOSITION 8.16 Deux formes quadratiques sur un �-espace vectoriel de
dimension finie sont isométriques si et seulement si elles ont m�me signature.
8.2 Produit scalaire sur un espace vectoriel
8.2.1 Produit scalaire
DÉFINITION 8.14 Soient E un �-espace vectoriel et q une forme quadratique
sur E.
)(La forme quadratique q est dite positive si q(x) � 0 pour tout x E E.
)(La forme quadratique q est dite définie si q(x) -:f 0 pour tout x E E \ {O}.
Remarque Pour montrer qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E est définie, il faut montrer que si x -:f 0 alors q(x) -:f O. En pratique,
il est souvent plus simple d'utiliser la contraposée : on montre que si q(x) = 0
alors nécessairement x = O.
Inversement, pour montrer qu'une forme quadratique q sur un �-espace vectoriel E n'est pas définie, il suffit de trouver un vecteur x -:f 0 pour lequel
q(x) =O.
o
(Go) Cette affirmation résulte du fait que si pour tout X E Rn on a 1XZ = 0 alors, en choisissant
X= Z on montre que nécessairement Z =O . De même, si pour tout Y E Rn on a tzy = 0
alors on montre que Z = O.