Algèbre bilinéaire
475
Exemples
1. La forme de Lorentz définie sur IR 4 par
cp : (x, y) E IR 4 x IR 4 i--- --+ X1 Y1 + x 2 Y 2 + X3 Y3 - c 2 x4 y4,
où c désigne un paramètre réel, admet pour forme quadratique associée l'application
q: X E IR 4 !--- --+ xi + X� + X� -c 2 x� .
Déterminons la signature de q en utilisant le théorème 8.4. Remarquons que
l'expression q(x) = xi + x� + x� - c 2 x� est une décomposition en somme de
quatre carrées de formes linéaires et les quatre formes linéaires x � x1 , x � x 2 ,
x � X3 et x � X4 sont indépendantes. Selon la valeur du coefficient c on a
c(q) = (3, 0) si c = 0 et c(q)=(3,l) sic:fO .
2. La forme quadratique sur IR 4 définie par
a pour décomposition < so ) en somme de carrés de formes linéaires indépendantes
q(x) = fi (x) 2 - f2 (x) 2 - f3 (x) 2 - 3f4(x) 2
où les formes linéaires fi sont données par fi (x) = �(x1 + x 2 + 2x 3 + 2x4),
h (x) = �(x1 - x 2 ), fs(x) = X3 + �X4 et f4 (x) = �x4 . D'après le théorème 8.2,
le rang de q est 4 et d'après le théorème 8.4 sa signature vaut (1, 3).
Exercice 8.3 Déterminer en fonction du réel a le rang et la signature de
la forme quadratique qa définie par, voir l'exercice 8.2 p. 471,
Autre critère de classification
On dit que deux formes quadratiques q et q' sur un IR-espace vectoriel E de dimension finie sont isométriques s'il existe une application linéaire et bijective u
de E sur E telle que :
Vx E E q(x) = q ' (u(x)).
Notons cp (respectivement cp') la forme polaire de q (resp. de q'). En utilisant
la relation de polarisation donnée à la proposition 8.6, on établit que les deux
formes quadratiques q et q' sont isométriques si et seulement si
V(x, y) E E 2 cp(x, y) = cp ' (u(x),u(y)).
(15)
(50) Voir l'exemple de la p. 470.
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Exemples
1. La forme de Lorentz définie sur IR 4 par
cp : (x, y) E IR 4 x IR 4 i--- --+ X1 Y1 + x 2 Y 2 + X3 Y3 - c 2 x4 y4,
où c désigne un paramètre réel, admet pour forme quadratique associée l'application
q: X E IR 4 !--- --+ xi + X� + X� -c 2 x� .
Déterminons la signature de q en utilisant le théorème 8.4. Remarquons que
l'expression q(x) = xi + x� + x� - c 2 x� est une décomposition en somme de
quatre carrées de formes linéaires et les quatre formes linéaires x � x1 , x � x 2 ,
x � X3 et x � X4 sont indépendantes. Selon la valeur du coefficient c on a
c(q) = (3, 0) si c = 0 et c(q)=(3,l) sic:fO .
2. La forme quadratique sur IR 4 définie par
a pour décomposition < so ) en somme de carrés de formes linéaires indépendantes
q(x) = fi (x) 2 - f2 (x) 2 - f3 (x) 2 - 3f4(x) 2
où les formes linéaires fi sont données par fi (x) = �(x1 + x 2 + 2x 3 + 2x4),
h (x) = �(x1 - x 2 ), fs(x) = X3 + �X4 et f4 (x) = �x4 . D'après le théorème 8.2,
le rang de q est 4 et d'après le théorème 8.4 sa signature vaut (1, 3).
Exercice 8.3 Déterminer en fonction du réel a le rang et la signature de
la forme quadratique qa définie par, voir l'exercice 8.2 p. 471,
Autre critère de classification
On dit que deux formes quadratiques q et q' sur un IR-espace vectoriel E de dimension finie sont isométriques s'il existe une application linéaire et bijective u
de E sur E telle que :
Vx E E q(x) = q ' (u(x)).
Notons cp (respectivement cp') la forme polaire de q (resp. de q'). En utilisant
la relation de polarisation donnée à la proposition 8.6, on établit que les deux
formes quadratiques q et q' sont isométriques si et seulement si
V(x, y) E E 2 cp(x, y) = cp ' (u(x),u(y)).
(15)
(50) Voir l'exemple de la p. 470.