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Formes bilinéaires et formes quadratiques
DÉFINITION 8.13 (Signature d'une forme quadratique)
Soient q une forme quadratique sur un espace vectoriel E de dimension n,
B = (ei, ... , en ) est une base q-orthogonale de E et a, /3 les entiers
a= card{i EN; 1 � i � n et q(ei) > O}
et /3=card{i EN; l�i � n et q(ei) < O}.
On appelle signature de la forme quadratique q le couple t:(q) =(a, /3).
Calculer la signature d'une forme quadratique en utilisant la définition des
entiers a et f3 requiert une base orthogonale pour cette forme quadratique. Le
théorème de Gauss permet de déterminer la signature d'une forme quadratique
sans avoir recours à une telle base. Plus précisément, on a le théorème suivant.
THÉORÈME 8.4 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie et q une
forme quadratique sur E dont une décomposition en carrés de formes linéaires
indépendantes est q = I:�=l 1dl . La signature de q est (a, /3) avec
a = card{ i E N ; 1 � i � r et 'Yi > O}
et /3 = card{ i E N ; 1 � i � r et 'Yi < 0}.
Démonstration Le théorème de la base incomplète cs7J permet de compléter la
famille libre {f 1 , ... , fr } en une base iJ = (fi , ... , f n ) de l'espace vectoriel E* .
D'après la proposition 8.14, il existe une base B = (e 1 , . .. , en ) de E dont la base
duale est iJ. Dans cette base B, la matrice de q est une matrice diagonale <5 8 l
qui s'écrit
"/1
0
"f r
0
0
0
En particulier, la base B est orthogonale selon q et on a
a(B) = card{ i E N ; 1 � i � r et 'Yi > 0}
et /3(B) = card{i EN; 1 � i � r et 'Yi < O}.
Le théorème est démontré.
<57l Voir le Cours de première année p. 327.
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css ) On pourra consulter la preuve du théorème de Gauss, à la p. 469, au cours de laquelle
un calcul similaire est dêtaillê.