Algèbre bilinéaire
473
SYLVESTER, James-Joseph (1814, Londres - 1897, Londres).
Mathématicien et géomètre anglais, Sylvester a enseigné à l'université de Baltimore aux Etats-Unis, puis à l'université d'Oxford
en Angleterre. Ses principaux travaux portent sur les formes quadratiques et sur la théorie des déterminants. On lui doit le terme
de matrice qu'il introduit en 1850 pour désigner un tableau rectangulaire de nombres. En 1901, une distinction est créée en son
honneur : la médaille Sylvester. Elle est décernée tous les trois
ans par la Royal Society (Académie des Sciences britannique) .
décompose de manière unique dans la base {hi ; 1 :( i :( a(B) } de G+ de
la manière suivante : x = L���) Ài bi où les Ài sont des réels non tous nuls.
Puisque la base B est q-orthogonale, on en déduit que q(x) = L���) >-rq(bi)·
De plus, chaque q(bi) (i = 1, ... , a(B)) est strictement positif, ce qui implique
q(x) > O. En raisonnant de manière analogue, on montre à partir de l'hypothèse x EH _\ {O} que q(x) :(O. Ainsi, si x E G+ n H_ et si x-:/:-0 alors on a
à la fois q(x) > 0 et q(x) :( 0 ce qui constitue la contradiction.
12: L'intersection des espaces G + et H _ étant réduite à { 0}, on sait que c55>
dim G+ + dim H_ = dim(G+ EB H_ ).
Par ailleurs, comme G+ EB H_ c E, on a dim(G+ EB H_ ) :( dim E. On en
déduit que dim G+ + dim H_ :( dim E, c'est-à-dire que a(B) + n - a(C) :( n
ou encore que a(B) :( a(C). On a donc prouvé que si B et C sont deux bases
q-orthogonales alors a(B) :( a(C). En effectuant un raisonnement analogue en
échangeant le rôle de B et celui de C, c'est-à-dire en introduisant les espaces
H+ = Vect{ci ; 1 :( i :( a(C)} et G_ = Vect{bi ; a(B) + 1 :( i :( n}, on
montre que a(C) :( a(B). Ceci permet de prouver que a(B) = a(C).
Pour conclure cette preuve remarquons que puisque le rang de la forme qua•
,
( 5 G )
dratique q ne depend pas de la base on a rg(q) = a(B) + {J(B) = a(C) + {J(C).
L'égalité des entiers a(B) et a(C) implique celle des entiers {J(B) et {J(C). 0
Les entiers a(B) et {J(B) ne dépendant pas de la base B, ils peuvent donc être
notés a et f3 sans faire référence à la base.
( 55 ) '
Voir la formule de Grassmann dans le Cours de première année p. 343.
( 56 ) Voir la définition du rang d'une forme bilinéaire, définition 8.4.
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SYLVESTER, James-Joseph (1814, Londres - 1897, Londres).
Mathématicien et géomètre anglais, Sylvester a enseigné à l'université de Baltimore aux Etats-Unis, puis à l'université d'Oxford
en Angleterre. Ses principaux travaux portent sur les formes quadratiques et sur la théorie des déterminants. On lui doit le terme
de matrice qu'il introduit en 1850 pour désigner un tableau rectangulaire de nombres. En 1901, une distinction est créée en son
honneur : la médaille Sylvester. Elle est décernée tous les trois
ans par la Royal Society (Académie des Sciences britannique) .
décompose de manière unique dans la base {hi ; 1 :( i :( a(B) } de G+ de
la manière suivante : x = L���) Ài bi où les Ài sont des réels non tous nuls.
Puisque la base B est q-orthogonale, on en déduit que q(x) = L���) >-rq(bi)·
De plus, chaque q(bi) (i = 1, ... , a(B)) est strictement positif, ce qui implique
q(x) > O. En raisonnant de manière analogue, on montre à partir de l'hypothèse x EH _\ {O} que q(x) :(O. Ainsi, si x E G+ n H_ et si x-:/:-0 alors on a
à la fois q(x) > 0 et q(x) :( 0 ce qui constitue la contradiction.
12: L'intersection des espaces G + et H _ étant réduite à { 0}, on sait que c55>
dim G+ + dim H_ = dim(G+ EB H_ ).
Par ailleurs, comme G+ EB H_ c E, on a dim(G+ EB H_ ) :( dim E. On en
déduit que dim G+ + dim H_ :( dim E, c'est-à-dire que a(B) + n - a(C) :( n
ou encore que a(B) :( a(C). On a donc prouvé que si B et C sont deux bases
q-orthogonales alors a(B) :( a(C). En effectuant un raisonnement analogue en
échangeant le rôle de B et celui de C, c'est-à-dire en introduisant les espaces
H+ = Vect{ci ; 1 :( i :( a(C)} et G_ = Vect{bi ; a(B) + 1 :( i :( n}, on
montre que a(C) :( a(B). Ceci permet de prouver que a(B) = a(C).
Pour conclure cette preuve remarquons que puisque le rang de la forme qua•
,
( 5 G )
dratique q ne depend pas de la base on a rg(q) = a(B) + {J(B) = a(C) + {J(C).
L'égalité des entiers a(B) et a(C) implique celle des entiers {J(B) et {J(C). 0
Les entiers a(B) et {J(B) ne dépendant pas de la base B, ils peuvent donc être
notés a et f3 sans faire référence à la base.
( 55 ) '
Voir la formule de Grassmann dans le Cours de première année p. 343.
( 56 ) Voir la définition du rang d'une forme bilinéaire, définition 8.4.