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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Soient q une forme quadratique sur un JR-espace vectoriel E de dimension n et
B = ( e 1 , ... , en ) une base q-orthogonale de E. On note
a(B) = card{i EN; 1 � i � n et q(ei) > O}
et {J(B) = card{i EN; l�i � n et q(ei ) < O}.
On a vu p. 461 que la matrice de q dans la base q-orthogonale B est une matrice
diagonale, les coefficients diagonaux de cette matrice étant les réels q(ei)· Les
entiers a(B) et {J(B) correspondent respectivement aux nombres de valeurs
propres strictement positives et strictement négatives de la matrice de q dans
la base B. On en déduit que le rang de q, que l'on sait être indépendant de la
base choisie <54l , vaut rg(q) = a(B) + {J(B).
Le théorème suivant indique que non seulement a(B)+ f3(B) est indépendant de
la base orthogonale B mais que les deux entiers a(B) et {J(B) sont eux-mêmes
indépendants de ce choix.
THÉORÈME 8.3 (Loi d'inertie de Sylvester)
Soient q une forme quadratique sur un JR-espace vectoriel E de dimension n
et B = ( e 1 , ... , en ) une base q-orthogonale de E. On note
a(B) = card{i EN; 1 � i � n et q(ei) > O}
et (J(B) == card{i EN; 1 � i � n et q(ei) < O}.
Les entiers a(B) et {J(B) sont indépendants de la base orthogonale B.
Démonstration Afin de montrer que les deux entiers a(B) et {J(B) ne dépendent pas de la base orthogonale choisie, nous allons considérer deux bases qorthogonales B = (b 1 , . .. , bn) et C = ( c 1 , . . . , en ) et montrer que a(B) = a:( C)
puis que (J(B) = {J(C). Quitte à échanger l ' ordre des vecteurs des deux bases B
et C, on peut supposer que :
q(bi ) > 0 pour 1 � i � a(B),
q(bi ) < 0 pour a:(B) + 1 � i � a(B) + (J(B) = rg(q),
q(ci) > 0 pour 1 � i � a:(C),
q(ci) < 0 pour a(C) + 1 � i � a(C) + (J(C) = rg{q).
� Considérons les sous-espaces vectoriels G+ = Vect{bi ; 1 � i � a(B)} et
H_ = Vect{ci ; a:(C)+ l � i � n}. Nous allons dans un premier temps montrer
que G+nH_ = {O}. L'inclusion {O} c G+nH_ est immédiate car l'intersection
de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel et tout sous-espace
vectoriel contient l'élément O. Considérons x E G+ n H_ et montrons, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement x = O. Supposons x =/= 0; il se
<54> Voir la définition du rang d'une forme bilinéaire p. 445.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
Soient q une forme quadratique sur un JR-espace vectoriel E de dimension n et
B = ( e 1 , ... , en ) une base q-orthogonale de E. On note
a(B) = card{i EN; 1 � i � n et q(ei) > O}
et {J(B) = card{i EN; l�i � n et q(ei ) < O}.
On a vu p. 461 que la matrice de q dans la base q-orthogonale B est une matrice
diagonale, les coefficients diagonaux de cette matrice étant les réels q(ei)· Les
entiers a(B) et {J(B) correspondent respectivement aux nombres de valeurs
propres strictement positives et strictement négatives de la matrice de q dans
la base B. On en déduit que le rang de q, que l'on sait être indépendant de la
base choisie <54l , vaut rg(q) = a(B) + {J(B).
Le théorème suivant indique que non seulement a(B)+ f3(B) est indépendant de
la base orthogonale B mais que les deux entiers a(B) et {J(B) sont eux-mêmes
indépendants de ce choix.
THÉORÈME 8.3 (Loi d'inertie de Sylvester)
Soient q une forme quadratique sur un JR-espace vectoriel E de dimension n
et B = ( e 1 , ... , en ) une base q-orthogonale de E. On note
a(B) = card{i EN; 1 � i � n et q(ei) > O}
et (J(B) == card{i EN; 1 � i � n et q(ei) < O}.
Les entiers a(B) et {J(B) sont indépendants de la base orthogonale B.
Démonstration Afin de montrer que les deux entiers a(B) et {J(B) ne dépendent pas de la base orthogonale choisie, nous allons considérer deux bases qorthogonales B = (b 1 , . .. , bn) et C = ( c 1 , . . . , en ) et montrer que a(B) = a:( C)
puis que (J(B) = {J(C). Quitte à échanger l ' ordre des vecteurs des deux bases B
et C, on peut supposer que :
q(bi ) > 0 pour 1 � i � a(B),
q(bi ) < 0 pour a:(B) + 1 � i � a(B) + (J(B) = rg(q),
q(ci) > 0 pour 1 � i � a:(C),
q(ci) < 0 pour a(C) + 1 � i � a(C) + (J(C) = rg{q).
� Considérons les sous-espaces vectoriels G+ = Vect{bi ; 1 � i � a(B)} et
H_ = Vect{ci ; a:(C)+ l � i � n}. Nous allons dans un premier temps montrer
que G+nH_ = {O}. L'inclusion {O} c G+nH_ est immédiate car l'intersection
de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel et tout sous-espace
vectoriel contient l'élément O. Considérons x E G+ n H_ et montrons, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement x = O. Supposons x =/= 0; il se
<54> Voir la définition du rang d'une forme bilinéaire p. 445.