Algèbre bilinéaire
471
On obtient finalement :
q(x) = fi(x) 2 - f2 (x) 2 - f3 (x) 2 - 3f 4 (x) 2
où les formes linéaires fi sont données par fi ( x) = � (xi + x 2 + 2x 3 + 2x 4 ),
f2(x) = � (x 1 - x 2 ), h (x) = X3 + �x 4 et f 4 (x) = �x 4 .
Remarque Il existe bien sûr d'autres décompositions d'une forme quadratique
comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires que celle donnée par
le théorème de Gauss. Par exemple, la forme quadratique q définie sur JR 2 par
est une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires. On a q(x) = 9 1 (x) 2 -
9 2 (x) 2 + 9 3 (x) 2 avec
Par contre, les trois formes linéaires 9 1 , 9 2 et 9 3 ne sont pas linéairement indépendantes car 9 1 + 9 3 = 29 2 .
Ici, en développant l'écriture de la forme quadratique q, on a
q(x) = xi + 2x� = fi (x) 2 + 2f2(x) 2 ,
et les deux formes linéaires fi : x 1--> x 1 et h : x 1--> x 2 sont indépendantes.
Un des avantages de la méthode de Gauss est qu'elle assure l'indépendance des
formes linéaires obtenues.
o
Exercice 8.2 Pour a E JR, on considère la forme quadratique Qa définie
sur JR 3 ·par
Trouver une décomposition de Qa comme combinaison linéaire de carrés de
formes linéaires indépendantes.
8.1.9 Classification des formes quadratiques
De nombreux travaux mathématiques ont pour but de classifier les objets qu'ils
définissent. La question se pose de savoir si on peut classer les formes quadratiques par type, et selon quels critères. Le théorème de Gauss (théorème 8.2)
fournit une première classification selon le rang de la forme quadratique : toute
forme quadratique de rang r est une somme de r carrés de formes linéaires.
On peut être plus précis au niveau de la classification en prenant en compte le
signe devant les carrés dans la décomposition.
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On obtient finalement :
q(x) = fi(x) 2 - f2 (x) 2 - f3 (x) 2 - 3f 4 (x) 2
où les formes linéaires fi sont données par fi ( x) = � (xi + x 2 + 2x 3 + 2x 4 ),
f2(x) = � (x 1 - x 2 ), h (x) = X3 + �x 4 et f 4 (x) = �x 4 .
Remarque Il existe bien sûr d'autres décompositions d'une forme quadratique
comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires que celle donnée par
le théorème de Gauss. Par exemple, la forme quadratique q définie sur JR 2 par
est une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires. On a q(x) = 9 1 (x) 2 -
9 2 (x) 2 + 9 3 (x) 2 avec
Par contre, les trois formes linéaires 9 1 , 9 2 et 9 3 ne sont pas linéairement indépendantes car 9 1 + 9 3 = 29 2 .
Ici, en développant l'écriture de la forme quadratique q, on a
q(x) = xi + 2x� = fi (x) 2 + 2f2(x) 2 ,
et les deux formes linéaires fi : x 1--> x 1 et h : x 1--> x 2 sont indépendantes.
Un des avantages de la méthode de Gauss est qu'elle assure l'indépendance des
formes linéaires obtenues.
o
Exercice 8.2 Pour a E JR, on considère la forme quadratique Qa définie
sur JR 3 ·par
Trouver une décomposition de Qa comme combinaison linéaire de carrés de
formes linéaires indépendantes.
8.1.9 Classification des formes quadratiques
De nombreux travaux mathématiques ont pour but de classifier les objets qu'ils
définissent. La question se pose de savoir si on peut classer les formes quadratiques par type, et selon quels critères. Le théorème de Gauss (théorème 8.2)
fournit une première classification selon le rang de la forme quadratique : toute
forme quadratique de rang r est une somme de r carrés de formes linéaires.
On peut être plus précis au niveau de la classification en prenant en compte le
signe devant les carrés dans la décomposition.