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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Par définition d'une base duale c53> on a fi(e1) = Ôij pour tout (i, j) E {1, . . . , n}2
et par conséquent
r
V(i,j) E {1, ... ,n} 2 'P o(ei,ej) = L 'Y k Ôi k Ôj k ·
k=l
On a Ôi k =f:. 0 si et seulement si k = i et Ôj k =f:. 0 si et seulement si k = j donc
diagonale. De plus, pour tout i E {1, ... ,r } on a telle matrice est r.
0
Exemples
1. Décomposons en utilisant la méthode de Gauss la forme quadratique q définie
sur JR 3 par
On a
q(x) = xf + x 1 (-2x 2 + 4x 3 ) + 2x� + 8x�
= ((xf + 2x 1 (2x 3 - x 2 ) + (2x 3 - x 2 ) 2 ) - (2x 3 - x 2 ) 2 + 2x� + 8x�
= (x 1 + 2x 3 - x 2 ) 2 + 4x� + x� + 4x 2 x 3 = (x 1 + 2x 3 - x 2 ) 2 + (x 2 + 2x 3 ) 2 .
On a donc q(x) = fi (x) 2 + h(x) 2 où fi (x) = x 1 + 2x 3 - x 2 et fi (x) = x 2 + 2x 3 .
2. Décomposons en utilisant la méthode de Gauss la forme quadratique q définie
sur JR 4 par
Aucun carré n'apparaissant, on regroupe tous les termes faisant apparaître x 1
et x 2 de la façon suivante :
q(x) = X1X 2 + X1 (x 3 + X4) + x 2 (X 3 + X4) + X3X4
= (x 1 + X3 + X4)(X 2 + X3 + X4) - (x 3 + X4) 2 + X3X4
= i- (x 1 + X 2 + 2(x 3 + X4)) 2 - i- (x 1 - X2) 2 - X� - X� - X3X4 .
Il reste ensuite à s'occuper des termes ne faisant pas apparaître x 1 et x 2 , c'està-dire de la forme quadratique sur JR 2 définie par
On regroupe dans un même terme tous les termes où est présent x 3 :
<53> Vo ir la proposition 8 . 12.