Algèbre bilinéaire
quadratique en x" de la façon suivante :
q(x) = a 1 2 X1 + -- x 2 + -- + D(x ) - ---( C(x") ) ( B(x") ) ( /1 B(x")C(x") )
a 1 2
a 1 2
a 1 2
469
a 1 2 ( (
B(x") + C(x") ) 2 (
C(x") - B(x") ) 2 )
= - X1 + x 2 +
- X1 - X 2 + -'-�--4
a 1 2
a 1 2
+ ( n(x") _ B(x")C(x") ) .
a 1 2
On peut itérer alors ce processus pour décomposer une forme quadratique
comme la somme de carrés de formes linéaires sur l'espace vectoriel E et d'une
forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension m < n. Au terme du
processus, on a démontré le théorème suivant.
THÉORÈME 8.2 (Théorème de Gauss)
Soit q une forme quadratique sur un IR -espace vectoriel E de dimension n.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
- le rang de q est égal à r ;
- il existe r formes linéaires indépendantes < s i> fi, f2, ... Jr sur E et il existe r
réels non nuls 1' 1 , 1' 2 , ... , 1'r tels que
r
q = °L 1' d l.
i=l
Démonstration La construction qui a été effectuée . en préambule indique que
la première assertion implique la seconde. Montrons la réciproque ; supposons
qu'il existe r formes linéaires indépendantes fi, f2, . . . Jr et qu'il existe r réels
non nuls 1' 1 , 1' 2 , · .. ,1'r tels que q = L::"= 1 1' dl . D'après le théorème de la base
incomplète '5 2J , la famille {! 1 , ... , fr} de l'espace vectoriel E*, qui est une famille libre, peut être complétée en une base B = (! 1 , f2, ... , f n ) de E*. D'après
la proposition 8.14, il existe une base B = (e 1 , ... , en ) de E dont la base duale
est B. Déterminons la matrice de q dans cette base en évaluant tout (i, j) E {1, ... , n } 2 où r
V(x, y) E E 2 k=l
( s i ) Une forme linéaire sur un IR-espace vectoriel E est une application linéaire de E sur IR.
L'ensemble des formes linéaires sur E constitue un IR-espace vectoriel. Dire que r formes
linéaires sont indépendantes signifie que la famille formée par ces formes linéaires est une
famille libre.
<52> Voir par exemple le Cours de première année p. 327.