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Formes bilinéaires et formes quadratiques
GAUSS, Carl-Friedrich (1777, Brunswick - 1855, Gèittingen).
Carl-Friedrich Gauss a soutenu en 1799 une thèse sur le théorème fondamental de l'algèbre : «tout polynôme sur le corps
des nombres complexes a au moins un zéro » dont il apporta
une preuve rigoureuse. Il s'intéressa aussi à la géométrie non
euclidienne et étudia les surfaces. Le nom de Gauss est également attaché au domaine des probabilités avec la loi de Gauss
ou loi normale. En tant que physicien, ses travaux les plus remarquables concernent la mesure des grandeurs magnétiques et
en particulier l'induction magnétique.
Afin de faire apparaître uniquement des « carrés », on va utiliser une méthode
connue sous le nom de méthode de Gauss < 4 9 >. Selon les coefficients ai j , deux cas
sont à envisager.
!::: Premier cas : il existe au moins un entier i tel que aii # 0; supposons qu'il
s'agisse de a n. En notant x' = (x 2 , ... , Xn ) , on écrit dans un premier temps q
sous la forme :
q(x) = a n xf + x 1 B(x1) + C(x'),
où B est une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension n - 1 et C
une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension n - 1. La forme
quadratique q peut ensuite s'écrire comme la somme du carré d'une forme
linéaire et d'une forme quadratique en x' de la manière suivante :
( B(x') ) 2 ( B(x') 2 )
q(x) = a 11 x 1 + 2a 11
+ C(x ' ) - � .
!::: Deuxième cas : tous les termes aii sont nuls et il existe un coefficient ai j ,
. .../. . .
1<5 0 > S
'"l ' . d
E
" (
)
i / J, non nu . upposons qu 1 s agisse e ai 2 - n notant x = x 3 , ... , Xn ,
on écrit dans un premier temps q sous la forme :
où B et C sont des formes linéaires et D une forme quadratique. On écrit
ensuite q comme la somme de deux carrés de forme linéaire et d'une forme
<49> A ne pas confondre avec la méthode du pivot de Gauss introduite pour résoudre des
systèmes linéaires, voir le Cours de première année.
<5o) On n'a pas traité le cas où tous les coefficients a;i sont nuls ; ce cas correspond à q = 0
qui est déjà écrite sous la forme de sommes de carrés.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
GAUSS, Carl-Friedrich (1777, Brunswick - 1855, Gèittingen).
Carl-Friedrich Gauss a soutenu en 1799 une thèse sur le théorème fondamental de l'algèbre : «tout polynôme sur le corps
des nombres complexes a au moins un zéro » dont il apporta
une preuve rigoureuse. Il s'intéressa aussi à la géométrie non
euclidienne et étudia les surfaces. Le nom de Gauss est également attaché au domaine des probabilités avec la loi de Gauss
ou loi normale. En tant que physicien, ses travaux les plus remarquables concernent la mesure des grandeurs magnétiques et
en particulier l'induction magnétique.
Afin de faire apparaître uniquement des « carrés », on va utiliser une méthode
connue sous le nom de méthode de Gauss < 4 9 >. Selon les coefficients ai j , deux cas
sont à envisager.
!::: Premier cas : il existe au moins un entier i tel que aii # 0; supposons qu'il
s'agisse de a n. En notant x' = (x 2 , ... , Xn ) , on écrit dans un premier temps q
sous la forme :
q(x) = a n xf + x 1 B(x1) + C(x'),
où B est une forme linéaire sur un espace vectoriel de dimension n - 1 et C
une forme quadratique sur un espace vectoriel de dimension n - 1. La forme
quadratique q peut ensuite s'écrire comme la somme du carré d'une forme
linéaire et d'une forme quadratique en x' de la manière suivante :
( B(x') ) 2 ( B(x') 2 )
q(x) = a 11 x 1 + 2a 11
+ C(x ' ) - � .
!::: Deuxième cas : tous les termes aii sont nuls et il existe un coefficient ai j ,
. .../. . .
1<5 0 > S
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E
" (
)
i / J, non nu . upposons qu 1 s agisse e ai 2 - n notant x = x 3 , ... , Xn ,
on écrit dans un premier temps q sous la forme :
où B et C sont des formes linéaires et D une forme quadratique. On écrit
ensuite q comme la somme de deux carrés de forme linéaire et d'une forme
<49> A ne pas confondre avec la méthode du pivot de Gauss introduite pour résoudre des
systèmes linéaires, voir le Cours de première année.
<5o) On n'a pas traité le cas où tous les coefficients a;i sont nuls ; ce cas correspond à q = 0
qui est déjà écrite sous la forme de sommes de carrés.