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Produit scalaire sur un espace vectoriel
SCHMIDT, Erhard (1876, Tartu, en Estonie - 1959, Berlin).
En 1905, sous la direction de David Hilbert, Schmidt obtient son
doctorat à l'université de Gi:ittingen. L'activité de recherche de
Schmidt a alors trait aux équations intégrales et aux espaces dits
de Hilbert. Dès 1908, il publie des articles où apparaît le procédé
d'orthogonalisation donnant ainsi naissance à ce qui s'appelle
aujourd'hui les opérateurs de Hilbert-Schmidt. En 1917, Schmidt
obtint un poste de professeur à l'université de Berlin. Ses travaux
de recherche ont progressivement évolué vers la topologie et il
a en particulier étudié les liens entre l'aire d'une surface et son
périmètre.
Cas de la dimension finie
Dans un JR-espace vectoriel E de dimension finie certaines familles de vecteurs
ont un rôle particulier : ce sont les bases de E. Dans un espace euclidien l'orthogonalisation de Schmidt permet de construire, à partir d'une base quelconque
de E, une base orthonormale.
Exemple Considérons le JR-espace vectoriel ffit 2 [X] des polynômes à coefficients
réels de degré inférieur à 2. Il s'agit d'un espace vectoriel de dimension 3 dont la
base canonique est (1, X, X 2 ). En tant que sous-espace vectoriel de C 0 ([0, 1], ffit),
l'espace vectoriel des fonctions continues sur [O, 1], l'espace vectoriel ffit 2 [X] peut
. d
d .
1 .
.
(73)
être mum u pro mt sca aire smvant :
cp: (P, Q ) E 1R 2 [X] x ffit 2 [X] 1--- -- -> fo
1
P(t)Q(t) dt.
À partir de la base canonique de l'espace vectoriel ffit 2 [X], construisons une base
orthonormée de l'espace euclidien (ffit 2 [X], cp) en utilisant le procédé d'orthogonalisation de Schmidt. On a
€1 = 1 , € 2 =X - cp(€ l , X) €1 ,
cp(€1 , €1)
Pour faciliter l'obtention de l'expression de chaque terme €k, il est utile de
calculer la matrice associée au produit scalaire cp dans la base que l'on souhaite
orthogonaliser car cette matrice contient toutes les valeurs cp(X i , X i ) utile pour
le calcul de chaque €k · On a
Mat(
1
2
1
3
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Produit scalaire sur un espace vectoriel
SCHMIDT, Erhard (1876, Tartu, en Estonie - 1959, Berlin).
En 1905, sous la direction de David Hilbert, Schmidt obtient son
doctorat à l'université de Gi:ittingen. L'activité de recherche de
Schmidt a alors trait aux équations intégrales et aux espaces dits
de Hilbert. Dès 1908, il publie des articles où apparaît le procédé
d'orthogonalisation donnant ainsi naissance à ce qui s'appelle
aujourd'hui les opérateurs de Hilbert-Schmidt. En 1917, Schmidt
obtint un poste de professeur à l'université de Berlin. Ses travaux
de recherche ont progressivement évolué vers la topologie et il
a en particulier étudié les liens entre l'aire d'une surface et son
périmètre.
Cas de la dimension finie
Dans un JR-espace vectoriel E de dimension finie certaines familles de vecteurs
ont un rôle particulier : ce sont les bases de E. Dans un espace euclidien l'orthogonalisation de Schmidt permet de construire, à partir d'une base quelconque
de E, une base orthonormale.
Exemple Considérons le JR-espace vectoriel ffit 2 [X] des polynômes à coefficients
réels de degré inférieur à 2. Il s'agit d'un espace vectoriel de dimension 3 dont la
base canonique est (1, X, X 2 ). En tant que sous-espace vectoriel de C 0 ([0, 1], ffit),
l'espace vectoriel des fonctions continues sur [O, 1], l'espace vectoriel ffit 2 [X] peut
. d
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1 .
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être mum u pro mt sca aire smvant :
cp: (P, Q ) E 1R 2 [X] x ffit 2 [X] 1--- -- -> fo
1
P(t)Q(t) dt.
À partir de la base canonique de l'espace vectoriel ffit 2 [X], construisons une base
orthonormée de l'espace euclidien (ffit 2 [X], cp) en utilisant le procédé d'orthogonalisation de Schmidt. On a
€1 = 1 , € 2 =X - cp(€ l , X) €1 ,
cp(€1 , €1)
Pour faciliter l'obtention de l'expression de chaque terme €k, il est utile de
calculer la matrice associée au produit scalaire cp dans la base que l'on souhaite
orthogonaliser car cette matrice contient toutes les valeurs cp(X i , X i ) utile pour
le calcul de chaque €k · On a
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