Algèbre bilinéaire
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autrement dit, si et seulement si a: + /3 - 21 = O. On en déduit que R E A _j__j_
si et seulement si il est de la forme R = a:(X 2 + � ) + /3(X + � ) , a: et /3 étant
,
(28)
deux reels quelconques. On a donc
A _j__j_ = Vect{X 2 + � ' X + U = Vect{X 2 - X, X 2 + X + 1}.
Avec cet exemple, on peut noter qu'en général l'inclusion A c A _j__j_ est stricte.
DÉFINITION 8.10 (Noyau et cône isotrope)
Soient E un IR.-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E.
X On appelle noyau de la forme quadratique q, l'ensemble
N(q) = E _j_ .
X On appelle cône isotrope de q, l'ensemble
C(q) = {x E E ; q(x) = O}.
Les éléments du cône isotrope sont appelés des vecteurs isotropes.
Remarques
1. On a toujours 0 E N(q) et 0 E C(q).
2. Il ne faut pas confondre N(q) et C(q). L'ensemble N(q) est l'ensemble des
vecteurs qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de E alors que C(q) est l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à eux-mêmes. Ainsi, on a l'inclusion
N(q) C C(q) et cette inclusion est en général stricte :N(q) f:. C(q).
o
Exemple · Considérons la forme quadratique définie sur IR. 2 par
q : X E JR. 2 1--4 xî - X� ·
La forme polaire de q est l'application <.po : (x, y) E (IR. 2 ) 2 1--4 X1 Y1 - X 2 Y 2 et
le noyau N(q) de la forme quadratique q correspond à l'ensemble des éléments
x E IR. 2 tels que x 1 y 1 -X 2 Y 2 = 0 pour tout y E IR. 2 . En choisissant successivement
y= (1, 0) et y= (0, 1), on établit que le noyau de q est N(q) = {O}.
Le cône isotrope de cette forme quadratique q n'est pas égal à {O} puisque
l'élément x = (1, 1) appartient à C(q) (on vérifiera que q(l, 1) = 0). Plus
précisément, le cône isotrope C(q) est
C(q) = {x E IR. 2 ; x 1 = X 2 ou X1 = -x 2 },
c'est-à-dire C(q) est la réunion de deux droites du plan qui sont la première et
la seconde bissectrice.
<28> La dernière égalité provient du fait que l'espace vectoriel engendré par deux vecteurs x
et y est le même que l'espace vectoriel engendré par x + y et x - y
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autrement dit, si et seulement si a: + /3 - 21 = O. On en déduit que R E A _j__j_
si et seulement si il est de la forme R = a:(X 2 + � ) + /3(X + � ) , a: et /3 étant
,
(28)
deux reels quelconques. On a donc
A _j__j_ = Vect{X 2 + � ' X + U = Vect{X 2 - X, X 2 + X + 1}.
Avec cet exemple, on peut noter qu'en général l'inclusion A c A _j__j_ est stricte.
DÉFINITION 8.10 (Noyau et cône isotrope)
Soient E un IR.-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E.
X On appelle noyau de la forme quadratique q, l'ensemble
N(q) = E _j_ .
X On appelle cône isotrope de q, l'ensemble
C(q) = {x E E ; q(x) = O}.
Les éléments du cône isotrope sont appelés des vecteurs isotropes.
Remarques
1. On a toujours 0 E N(q) et 0 E C(q).
2. Il ne faut pas confondre N(q) et C(q). L'ensemble N(q) est l'ensemble des
vecteurs qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de E alors que C(q) est l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à eux-mêmes. Ainsi, on a l'inclusion
N(q) C C(q) et cette inclusion est en général stricte :N(q) f:. C(q).
o
Exemple · Considérons la forme quadratique définie sur IR. 2 par
q : X E JR. 2 1--4 xî - X� ·
La forme polaire de q est l'application <.po : (x, y) E (IR. 2 ) 2 1--4 X1 Y1 - X 2 Y 2 et
le noyau N(q) de la forme quadratique q correspond à l'ensemble des éléments
x E IR. 2 tels que x 1 y 1 -X 2 Y 2 = 0 pour tout y E IR. 2 . En choisissant successivement
y= (1, 0) et y= (0, 1), on établit que le noyau de q est N(q) = {O}.
Le cône isotrope de cette forme quadratique q n'est pas égal à {O} puisque
l'élément x = (1, 1) appartient à C(q) (on vérifiera que q(l, 1) = 0). Plus
précisément, le cône isotrope C(q) est
C(q) = {x E IR. 2 ; x 1 = X 2 ou X1 = -x 2 },
c'est-à-dire C(q) est la réunion de deux droites du plan qui sont la première et
la seconde bissectrice.
<28> La dernière égalité provient du fait que l'espace vectoriel engendré par deux vecteurs x
et y est le même que l'espace vectoriel engendré par x + y et x - y