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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Intéressons-nous au cas où E est un espace vectoriel de dimension finie n. Étant
donné une base B = (e 1 , .. . ,en) de E, à toute forme quadratique q sur E est
associée une matrice JVI E Sn (lR.). Dire qu'un élément x E E, représenté par
la matrice colonne X E JR. n dans la base B, appartient au noyau de la forme
quadratique q signifie que
W E JR. n tYMX = O.
En choisissant pour Y le vecteur Y = MX, on en déduit <29> que x E N(q) si
et seulement si MX = O. Ainsi, en dimension finie, le noyau d'une forme quadratique correspond exactement au noyau de l'endomorphisme ayant la même
matrice que la forme quadratique dans une même base donnée. En particulier,
le théorème du rang <3 0> s'écrit dans le cadre de l'algèbre bilinéaire sous la forme
suivante : « La dimension de E est la somme du rang de q et de la dimension
du noyau de q ». Autrement dit, en dimension finie on a
J dim(E) = rg(q) + dim(N(q)).,
8.1.7 Bases orthogonales
Commençons par quelques rappels. Étant donnés un espace vectoriel E et un
ensemble I, on appelle <31> famille de vecteurs indexée par I toute application
i E I 1---7 Vi E E.
On la note (vi)iEI · L'ensemble de départ I est appelé ensemble des indices de
la famille. Lorsque I est un ensemble fini (resp. infini), on dit que (vi)ieI est
une famille finie (resp. infinie).
DÉFINITION 8.11 Soit F une famille de vecteurs <32> d'un JR.-espace vectoriel E et q une forme quadratique sur E de forme polaire associée X La famille F est dite q-orthogonale si
\i(f, f ') E F 2 (f =faf ' ===> X La famille F est dite q-orthonormale si
la famille F est q-orthogonale et \if E F <29> On remarquera que l'égalité tyy = 0 est équivalente à v?+ · +y� = 0 et donc équivalente
à Y=O.
<30> Voir le Cours de première année p. 376.
< 31 > voir le Cours de première année p. 303.
<32> Famille finie ou infinie.