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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Soit (x, y) E (A..L ) 2 et (>., µ) E JR 2 ; afin de prouver que Àx +µy E A..L, considérons un élément z E A et évaluons la quantité cp 0 (>.x +µy, z). En vertu de
la bilinéarité de Les éléments x et y étant dans A..L, ils satisfont les relations cp 0 (x, z) = 0 et
z E A, ce qui prouve que Àx.+ µy E A..L.
� Dire qu'un élément z E E appartient à A..L..L signifie que
\:/y E A..L rpo(z, y) =O.
Soit x E A; pour tout y E A..L par définition de A..L on a rpo (x, y) =O. On en
déduit que x E A ..L..L ce qui prouve que A c A ..L..L.
D
Exemple Soient E = lR 2 [X] et q : P E lR 2 [XJ f-t P(O)P(l) E lR. On a
vu p. 451 que q est une forme quadratique sur JR 2 [X] dont la forme polaire
rpo(P, Q) = HP(O)Q(l) + P(l)Q(O)) .
Considérons comme sous-ensemble de JR 2 (X] le singleton A= {P} où P désigne
le polynôme P = X 2 +X + l. Par définition, un polynôme Q E JR 2 [X] appartient
à A..L si et seulement si Q E A..L � HP(O)Q(l) + P(l)Q(ü)) =o.
Compte tenu de l'expression du polynôme P, on obtient
Q E A..L � Q(l) + 3Q(O) =O.
En écrivant Q dans la base canonique de JR 2 [X] sous la forme Q = aX 2 + bX + c
avec a, b et c trois nombres réels, on a
Q E A..L � a + b + 4c = O.
L'ensemble A..L est par conséquent constitué des polynômes Q de la forme
Q = (-b - 4c)X 2 + bX +c; c'est-à-dire de la forme Q = b(X - X 2 ) + c(l- 4X 2 ),
b et c étant deux réels quelconques. On en conclut que
A..L = Vect {X - X 2 , 1-4X 2 }.
De la même manière, un polynôme R = aX 2 + {3X + 'Y E JR 2 [X] appartiendra
à A..L..L si et seulement si <27>
{ cpo(R, 1 - 4X 2 ) = O
<27> D'après la linéarité de l'application 0 pour tous les polynômes S de l'espace vectoriel engendré par deux polynômes Si et S 2
si et seulement si