Algèbre bilinéaire
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2. Dans l'espace vectoriel IR 2 , la forme quadratique q : x E IR 2 1-+ xi - 2x1 X 2
a pour forme polaire cpo : (x, y) E (IR 2 ) 2 1-+ XI Y I - XI Y 2 - x 2 Y I. Selon cette
forme quadratique q, les vecteurs
u' = ( 6) et v
'
= (�)
sont orthogonaux car cp0(u', v
'
) = 0, mais les vecteurs
U
= ( 6) et V = ( �)
ne le sont pas car cpo(u, v) = -20 :f. O.
DÉFINITION 8.9 (Orthogonal)
Soient A et B deux sous-ensembles d'un IR-espace vectoriel E, q une forme
quadratique sur E et cpo la forme polaire associée à q.
)(On appelle orthogonal de A selon q (ou selon cp0) l'ensemble
Al. = {x E E; Vy E A cpo(x, y) = O}.
)(Les deux ensembles A et B sont dit orthogonaux selon q (ou selon cp0) et
on note A 1- B si Vx E A \/y E B cpo(x, y) =O.
On notera que {O}l. = E car pour tout x E Eon a cpo(x, 0) =O. Pour la même
raison, l'ensemble {O} est orthogonal à tous les autres sous-ensembles de E.
De nombreuses formes quadratiques pouvant être définies sur un espace vectoriel E, il s'ensuit qu'il existe plusieurs relations d'orthogonalité sur un même
espace. La ·notation 1- ne précise pas la forme quadratique pour laquelle il y
a orthogonalité. Lorsqu'une ambiguïté est possible, on notera 1-cp 0 ou 1-q pour
faire référence à la forme quadratique ou forme bilinéaire symétrique considérée.
PROPOSITION 8.8 Soient E un IR-espace vectoriel, q une forme quadratique
sur E et A un sous-ensemble de E.
) J< On a Ac Al.l..
Démonstration 1:::-: On a Al. C E; pour montrer que Al. est un sous-espace
vectoriel de E, il faut <26> montrer que 0 E Al. (ce qui est immédiat selon la
définition de l'orthogonal Al.), et que
( 2 6)
V(x, y) E (Al. ) 2 \/(>.. , µ) E IR 2 >.. x + µy E Al. .
Voir le Cours de première année p. 306.