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Formes bilinéaires et formes quadratiques
8.1.6 Orthogonalité
Si deux droites V 1 et V 2 sont dessinées sur une feuille, on connaît des critères permettant de dire si elles sont ou non perpendiculaires. Par exemple, en
considérant les vecteurs directeurs
U = ( �� ) et V = ( �� )
des droites V 1 et V 2 , il suffit d'évaluer la quantité u1 v 1 +u 2 v 2 appelée « produit
scalaire » des vecteurs u et v. Si cette valeur est nulle alors les droites sont
perpendiculaires, sinon elles ne sont pas perpendiculaires. Comme on va le voir,
cette notion familière d'orthogonalité est liée à un choix d'application bilinéaire
sur le plan et peut être généralisée à des espaces de dimension quelconque.
DÉFINITION 8.8 Soient E un IR-espace vectoriel, q une forme quadratique
sur E et cpo la forme polaire de q. Deux vecteurs x et y de E sont dits
orthogonaux selon q (ou selon cpo) si Remarque Une forme polaire étant symétrique, si x et y sont orthogonaux
selon q alors y et x sont aussi orthogonaux selon q.
o
Exemples
1. Dans l'espace vectoriel IR. 2 , la forme quadratique q: x E IR. 2 1--> xi +x� fournit
la notion d'orthogonalité usuelle dans le plan. La forme polaire de q est l'application x 1 Y I + x 2 Y 2 de sorte que deux vecteurs u et v
de composantes (ui, u 2 ) et (v 1 , v 2 ) sont orthogonaux selon cette forme quadratique q si et seulement si u1 v 1 + v 1 v 2 = O. Ainsi, selon la forme quadratique q,
les vecteurs
u ' = ( 6) et v
'
= G)
ne sont pas orthogonaux car cpo (u ' , v
'
) = 20 =/. 0 mais les vecteurs
u = G) et v = ( �)
le sont car cpo (u, v) =O.
V= (�)
U= (�)
u ' = ( 6)