Algèbre bilinéaire
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Remarques
1. Soit E un JR-espace vectoriel de dimension n muni d'une base B = (e1, ... , en) ·
Considérons une forme quadratique q sur E, dont la forme polaire est notée cpo
et la matrice associée A. Si x E E est donné dans la base B par x = L:� =l Xi ei
•
(25)
alors on sa i t que
n n
q(x) = cpo(x, x) = LL%XiXj·
i=l j=l
Dans la somme sur l'indice noté « j », on peut distinguer les cas j = i, j > i
et j < i. On remarque que puisque cpo est la forme polaire de q, sa matrice A
est symétrique et les coefficients aii et a ji sont égaux. On obtient :
n
n n
q(x) = L aii xf + 2 L L %XiXj·
i=l
i=l j=i+l
2. Inversement, si A E Sn (!R) est une matrice symétrique, l'expression
n
n n
q(x) = L aii xf + 2 L L % Xi Xj
i=l
i=l j=i+l
définit la forme quadratique q : x 1--4 q(x) associée à la forme bilinéaire symétrique donnée par
n
n n
cpo(x, y)= L aii Xi Yi + L L % (xi Yi + Xj Yi ) ·
i=l
i=l j=i+l
Matricielleinent, cela permet d'associer à toute matrice symétrique A E Sn (R.)
une forme quadratique q sur !R n telle que q(x) = tXAX, le vecteur X correspondant à la matrice colonne dont les éléments sont les composantes du vecteur x
dans la base canonique de !R n . La forme polaire cpo associée à q est déterminée
matriciellement par cp 0 (x, y) = txAY .
<>
Exemple L'application q : JR 3 --+ IR définie par
est une forme quadratique sur E = R. 3 . La matrice de q dans la base canonique
de JR 3 est
( 3 1
M= 1 1
-3/2 0
-3/2)
0 .
0
'25> Voir l'expression d'une forme bilinéaire dans une base, donnée par la relation (2) p. 440.