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Formes bilinéaires et formes quadratiques
D'une part, pour tout P E lR. 2 [X] et tout À E lR. on a
q(>. P) = À P(O)À P(l) = >. 2 q(P).
La condition 1 de la proposition 8. 7 est satisfaite.
Montrons d'autre part que l'application
cp: (P, Q) E lR. 2 [X] 2 1---+ Hq(P + Q) - q(P) - q(Q))
est une application bilinéaire sur lR. 2 [X]. Pour tout (P, Q) E lR. 2 [X] 2 on a
cp(P, Q) = HP(O)Q(l) + P(l)Q(O)) . Remarquons tout d'abord que pour tout
(P, Q) E JR. 2 [X] 2 on a cp(P, Q) = cp(Q, P), autrement dit, l'application cp est
symétrique. Ainsi, pour prouver que cp est bilinéaire, il suffit de prouver qu'elle
est linéaire par rapport à sa première variable c24> . Soient (P, Q, R) E lR. 2 [X] 3 et
(>., µ) E JR. 2 . On a
cp(ÀP + µ Q, R) = H(>.P + µ Q)(O) R(I) + (>. P + µ Q)(l) R(O))
= ! (>. P(O) R(l) + µ Q(O) R(l) + À P(l) R(O) + µ Q( I ) R(O))
= !>- (P(O) R(l) + P(l) R(O)) + !µ ( Q(O) R(I) + Q(l) R(O))
= >. cp(P, R) +µcp(Q, R),
ce qui montre la linéarité de cp par rapport à la première variable.
DÉFINITION 8. 7 Soient E un JR.-espace vectoriel de dimension finie, B une
base de E et q une forme quadratique sur E.
X On appelle matrice de q dans la base B la matrice de la forme polaire de q
dans la base B.
X Le rang de la forme quadratique q est le rang de la matrice de q.
En désignant par X la matrice colonne dont les éléments sont les composantes
d'un vecteur x E E dans une base donnée B de l'espace vectoriel E, par A la
matrice d'une forme quadratique q sur E dans cette même base B et par cpo la
forme polaire de q, l'égalité q(x) = cp 0 (x, x) s'écrit matriciellement
q(x) = txAx.
(24> Cet argument est souvent utilisé pour montrer qu'une application de deux variables qui
est symétrique est une application bilinéaire. En effet, si cp : E x E >-+ lR est symétrique
et linéaire par rapport à sa première variable alors elle sera linéaire par rapport à sa
deuxième variable et donc bilinéaire.