Algèbre bilinéaire
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Remarques
1 . Un fois que l'on connaît la forme polaire suivante :
V(x, y) E E 2 q(x +y) = q(x) + 2cpo(x, y) + q(y) .
Cela donne le comportement d'une forme quadratique vis-à-vis de l'addition
dans E (en particulier cela prouve qu'une forme quadratique n'est en général
pas linéaire) .
2. Soient q une forme quadratique sur un JR-espace vectoriel E et cp la forme
bilinéaire la définissant (voir la définition 8.6, cp peut par exemple être la forme
polaire de q). Pour tout À E lR et tout x E E, on a
q(>.x) = cp(>.x, >.x) = >. 2 cp(x, x) = >. 2 q(x).
Cela donne le comportement d'une forme quadratique vis-à-vis de la multiplication par un scalaire.
o
Pour montrer qu'une application q définie sur un lR espace vectoriel E et à
valeurs dans lR est une forme quadratique, on peut utiliser la caractérisation
suivante.
PROPOSITION 8.7 Une application q d'un espace vectoriel E dans lR est une
forme quadratique si et seulement si
1. Vx E E V>. E lR q(>.x) = >. 2 q(x),
2. l'application (x, y) E E 2 1--t Hq(x +y) - q(x) - q(y)) E lR est une forme
bilinéaire.
Démonstration Ç::: Supposons que l'application q de E dans lR soit une forme
quadratique. D'après la remarque qui précède, elle satisfait la première condition. L'application donnée par la condition 2 correspond à la forme polaire de
la forme quadratique q, c'est donc une forme bilinéaire.
Ç::: Réciproquement, supposons que l'application q vérifie les conditions 1 et 2
et considérons l'application cp: (x, y) E E 2 1--t Hq(x +y) - q(x) - q(y)) E JR.
D'après la condition 2, l'application cp est une forme bilinéaire. De plus, d'après
la condition 1, on a
Vx E E cp(x, x) = Hq(2x) - q(x) - q(x)) = H4q(x) - 2q(x)) = q(x).
Cela implique, d'après la définition 8,6, que q est une forme quadratique. D
Exemple Montrons en utilisant la proposition 8.7 que l'application q définie
sur le JR-espace vectoriel JR 2 [X] des polynômes de degré 2 à coefficients réels
par q: P E 1R 2 [X] 1--t P(O)P(l) est une forme quadratique.