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Formes bilinéaires et formes quadratiques
!:'.:: Pour établir la seconde formule de polarisation, on utilise la relation (11) puis
cette même relation en substituant -y à y. Puisque q(-y) = cp(-y, -y) =
cp(y, y) = q(y), on en déduit que :
q(x + y) = q(x) + 2cp(x, y) + q( y),
et q(x - y) = q(x) - 2cp(x, y) + q(y) .
En ajoutant membre à membre ces deux relations, on a la seconde formule de
polarisation cp(x, y) = H q(x + y) - q(x - y)) .
D
La façon la plus immédiate d'obtenir une forme quadratique est d'utiliser une
forme bilinéaire cp et de construire l'application x E E 1-+ cp(x, x) .
Exemples
1. L'application q : JR 3 ----t IR, définie par
( )
2 2 2
q X = X 1 + X 2
+ X 3
est une forme quadratique sur E = IR 3 . Elle est construite à partir de la forme
bilinéaire sur JR 3 définie par
cp(x, y) = X1 Y1 + x 2 Y 2 + X3 Y3 ·
Puisque cette forme bilinéaire est symétrique, on déduit de la proposition 8.6
que cp est la forme polaire de q.
·
2. La forme bilinéaire r.p : (!, g) E C((O, 1], IR) 2 1-+ f 0
1 f(t)g(t) dt permet de
construire la forme quadratique sur C([O, 1], IR) définie par
q(f) = fo
1
f(t) 2 dt.
3. Sur l'espace vectoriel Mn(IR), l'application q : Mn(IR) ----t lR définie par
q(A) = Tr (t AA)
est une forme quadratique. Sa forme polaire est l'application bilinéaire <23l
cp : (A, B) E Mn(IR) X Mn(IR) f-t Tr(t AB) E lR.
<23l En effet, il a été prouvé dans l'exemple p. 446 que cette application bilinéaire était
symétrique.