Algèbre bilinéaire
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Par définition, toute forme quadratique q est issue d'une forme bilinéaire Cette forme bilinéaire n'a aucune raison d'être unique ni d'être symétrique. On
a toutefois le résultat suivant.
PROPOSITION 8.6 (Formule de polarisation)
Soit E un JR-espace vectoriel. Pour toute forme quadratique q sur E, il existe
une unique forme bilinéaire symétrique 'ï/x E E q(x) = Cette forme bilinéaire symétrique donnée par la relation
'ï/(x, y) E E 2 appelée formule de polarisation.
Démonstration Considérons une forme quadratique q définie sur un IR-espace
vectoriel E. Par définition, il existe une forme bilinéaire

que
'ï/x E E q(x) = cp(x, x) .
(10)
l> Dans un premier temps, on va montrer que l'on peut trouver une forme
bilinéaire symétrique la forme bilinéaire

symétrique la remarque de la p. 448, on sait que pour tout x E E on a la forme quadratique q vérifie
'ï/x E E q(x) = L'application 1::: On va maintenant prouver que toute forme bilinéaire symétrique satisfaisant l'égalité (10) est donnée par la formule de polarisation ; cela permettra
de prouver que cp0 est unique. Considérons une forme bilinéaire symétrique satisfaisant la relation (10) . En utilisant la bilinéarité de cp, pour (x, y) E E 2 ,
on a
q(x + y) = cp(x + y, x + y) = cp(x, x) + cp(x, y) + cp(y, x) + cp(y, y) .
Comme

q(x + y) = q(x) + 2cp(x, y) + q(y) .
(11)
On en déduit que cp(x, y) = Hq(x + y) - q(x) - q(y)) , ce qui correspond à la
première formule de polarisation. On peut donc affirmer que

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