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Formes bilinéaires et formes quadratiques
formes bilinéaires symétriques ou antisymétriques. La proposition suivante en
est l'illustration.
PROPOSITION 8.5 Soit E un IR-espace vectoriel. Les deux sous-espaces
.CHE x E,IR) et .C�(E x E,IR) sont supplémentaires dans .C 2 (E x E, IR)
.CHE X E, IR) E9 .cg(E X E, IR) = .C 2 (E X E, IR).
Dans le cas où E est un IR-espace vectoriel de dimension finie n E N*, on a
dimnt (.C�(E x E,IR)) = �n(n + 1) et dimnt (q(E x E, IR)) = �n(n - 1).
La proposition 8.5 n'est pas un corollaire de la proposition 8.4. Elle ne peut en
effet pas s'en déduire car elle couvre aussi le cas où E n'est pas de dimension
finie. Par contre, la démonstration reste identique à celle qui est généralement
utilisée pour prouver la proposition 8.4 (voir par exemple le Cours de première
année p. 402). En particulier, on montre que toute forme bilinéaire cp sur un
IR-espace vectoriel E se décompose de la façon suivante (on pourra comparer
avec la relation (8)) :
'v'(x, y) E E 2 cp(x, y) = ! {cp(x, y) + =

= où l'application symétrique et où bilinéaire antisymétrique.
Remarque Une forme bilinéaire 'v'x E E cpa (x, x) = 0
car pour tout x E Eon a 8.1.5 Formes quadratiques
DÉFINITION 8.6 (Forme quadratique)
0
Une application q d'un espace vectoriel E dans lR est appelée forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire

'v'x E E q(x) = cp(x, x) .
Remarque Soient H un sous-espace vectoriel d'un IR-espace vectoriel E et q
une forme quadratique sur E. L'application q l H : x EH 1---7 q(x) est une forme
quadratique sur H. On dira que c'est la restriction de la forme quadratique q
au sous-espace vectoriel H.
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