Algèbre bilinéaire
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PROPOSITION 8.3 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie, B une
base de E et cp une forme bilinéaire sur E. La forme bilinéaire cp est symétrique
(resp. antisymétrique) si et seulement si la matrice IviatB(cp) est symétrique
(resp. antisymétrique).
Rappelons
c 2o> qu'une matrice A de Mn(IR) est dite symétrique si tA =A et
qu'elle est dite antisymétrique si t A = -A. L'ensemble des matrices symétriques de taille n à coefficients réels est noté Sn(IR) et l'ensemble des matrices
antisymétriques de taille n à coefficients réels est noté An(IR). On peut monc2 1 J
•
trer que les deux sous-espaces vectonels Sn (IR) et An (lR) sont en somme
directe c 22l dans Mn(lR). Plus précisément, on a la proposition suivante, dont
la preuve qui a été effectuée dans le Cours de première année p. 402, est basée
sur la décomposition de toute matrice M de Mn(IR) comme la somme d'une
matrice symétrique S et d'une matrice antisymétrique A :
:tvI = ! (IvI + t1v1) + ! (M - tM) .
...._ _. .. .. ., ...._ _. .. .. .,
= S
= A
(8)
PROPOSITION 8.4 Les deux sous-espaces Sn (lR) et An(IR) sont supplémentaires dans Mn(lR) :
De plus, les dimensions des JR-espaces vectoriels Sn (JR) et An (JR) sont :
dimIR (Sn(IR)) = !n(n + 1) et dimIR (An(IR)) = !n(n - 1).
Remarque Tous les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont
nuls.
o
En mécanique des milieux continus, le gradient des vitesses d'un fluide est
représenté en chaque point par une matrice Vv E M 3 (1R). La partie symétrique
de cette matrice, c'est-à-dire la matrice D = !(Vv+tVv) , est appelée la matrice
des déformations et la partie antisymétrique W = !(Vv - tvv) est appelée la
matrice de vorticité. Ces deux matrices jouent des rôles très importants dans
la descriptions des écoulements d'un fluide.
En vertu de la proposition 8.3 toutes les propriétés des matrices symétriques
ou antisymétriques réelles pourront être interprétées comme propriétés des
( 20 ) •
•
Voir le Cours de première année, p. 401.
(2 1 ) •
•
Vo1r par exemple le Cours de première année p. 402.
<22> Voir la définition 8.16 p. 339 du Cours de première année.
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PROPOSITION 8.3 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension finie, B une
base de E et cp une forme bilinéaire sur E. La forme bilinéaire cp est symétrique
(resp. antisymétrique) si et seulement si la matrice IviatB(cp) est symétrique
(resp. antisymétrique).
Rappelons
c 2o> qu'une matrice A de Mn(IR) est dite symétrique si tA =A et
qu'elle est dite antisymétrique si t A = -A. L'ensemble des matrices symétriques de taille n à coefficients réels est noté Sn(IR) et l'ensemble des matrices
antisymétriques de taille n à coefficients réels est noté An(IR). On peut monc2 1 J
•
trer que les deux sous-espaces vectonels Sn (IR) et An (lR) sont en somme
directe c 22l dans Mn(lR). Plus précisément, on a la proposition suivante, dont
la preuve qui a été effectuée dans le Cours de première année p. 402, est basée
sur la décomposition de toute matrice M de Mn(IR) comme la somme d'une
matrice symétrique S et d'une matrice antisymétrique A :
:tvI = ! (IvI + t1v1) + ! (M - tM) .
...._ _. .. .. ., ...._ _. .. .. .,
= S
= A
(8)
PROPOSITION 8.4 Les deux sous-espaces Sn (lR) et An(IR) sont supplémentaires dans Mn(lR) :
De plus, les dimensions des JR-espaces vectoriels Sn (JR) et An (JR) sont :
dimIR (Sn(IR)) = !n(n + 1) et dimIR (An(IR)) = !n(n - 1).
Remarque Tous les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont
nuls.
o
En mécanique des milieux continus, le gradient des vitesses d'un fluide est
représenté en chaque point par une matrice Vv E M 3 (1R). La partie symétrique
de cette matrice, c'est-à-dire la matrice D = !(Vv+tVv) , est appelée la matrice
des déformations et la partie antisymétrique W = !(Vv - tvv) est appelée la
matrice de vorticité. Ces deux matrices jouent des rôles très importants dans
la descriptions des écoulements d'un fluide.
En vertu de la proposition 8.3 toutes les propriétés des matrices symétriques
ou antisymétriques réelles pourront être interprétées comme propriétés des
( 20 ) •
•
Voir le Cours de première année, p. 401.
(2 1 ) •
•
Vo1r par exemple le Cours de première année p. 402.
<22> Voir la définition 8.16 p. 339 du Cours de première année.