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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Les trois premiers vecteurs lignes de cette matrice forment une famille de trois
vecteurs libres dans JR 4 (ce sont en effet les trois premiers vecteurs de la base
canonique de JR 4 ). Si c = 0 alors le quatrième vecteur ligne de la matrice
1vlata cnn (
et donc le rang de la forme de Lorentz valent 3. Par contre, si c =/: 0 alors les
quatre vecteurs lignes de la matrice fvla t Bcnn (
forme de Lorentz vaut 4.
8.1.4 Formes bilinéaires symétriques
DÉFINITION 8.5 Soit J< cp est dite symétrique si pour tout (x, y) E E 2 on a cp(x, y) = cp(y, x) .
)( Par la suite, on notera .CHE x E, JR) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E et q(E x E, JR) celui des formes bilinéaires antisymétriques
sur E. Ces deux ensembles sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel
.C 2 (E x E, JR.) des formes bilinéaires sur E.
Exemples
1. On vérifie facilement que la forme bilinéaire sur JR. 3 définie par
\i( x, y) E JR. 3 cp(x, y) = X1 YI + X 2 Y 2 + X3 Y3
est une forme bilinéaire symétrique.
2. La forme bilinéaire sur Mn(lR.) définie par
est une forme bilinéaire symétrique. La trace d'une matrice étant égale à la
somme des éléments diagonaux et lors de la transposition les éléments diagonaux restant inchangés, pour tout (A, B) E Mn (lR) 2 , on a
cp(A, B) = Tr(t AB) = Tr(\t AB)).
Comme cio> t (tAB) = tBA, on en déduit que cp(A, B) = Tr(tBA) = cp(B, A) .
La proposition suivante résulte de la définition 8.5 ainsi que de la représentation
matricielle des formes bilinéaires en dimension finie introduite dans la partie
précédente.
< rn > On utilise ici le fait que d'une part pour tout couple (C, D) E M,.(JR)2 on a t (CD) = t otc
et d'autre part, pour toute matrice CE M,.(IR) on a 1 (1 C) = C.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
Les trois premiers vecteurs lignes de cette matrice forment une famille de trois
vecteurs libres dans JR 4 (ce sont en effet les trois premiers vecteurs de la base
canonique de JR 4 ). Si c = 0 alors le quatrième vecteur ligne de la matrice
1vlata cnn (
et donc le rang de la forme de Lorentz valent 3. Par contre, si c =/: 0 alors les
quatre vecteurs lignes de la matrice fvla t Bcnn (
forme de Lorentz vaut 4.
8.1.4 Formes bilinéaires symétriques
DÉFINITION 8.5 Soit J< cp est dite symétrique si pour tout (x, y) E E 2 on a cp(x, y) = cp(y, x) .
)( Par la suite, on notera .CHE x E, JR) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E et q(E x E, JR) celui des formes bilinéaires antisymétriques
sur E. Ces deux ensembles sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel
.C 2 (E x E, JR.) des formes bilinéaires sur E.
Exemples
1. On vérifie facilement que la forme bilinéaire sur JR. 3 définie par
\i( x, y) E JR. 3 cp(x, y) = X1 YI + X 2 Y 2 + X3 Y3
est une forme bilinéaire symétrique.
2. La forme bilinéaire sur Mn(lR.) définie par
est une forme bilinéaire symétrique. La trace d'une matrice étant égale à la
somme des éléments diagonaux et lors de la transposition les éléments diagonaux restant inchangés, pour tout (A, B) E Mn (lR) 2 , on a
cp(A, B) = Tr(t AB) = Tr(\t AB)).
Comme cio> t (tAB) = tBA, on en déduit que cp(A, B) = Tr(tBA) = cp(B, A) .
La proposition suivante résulte de la définition 8.5 ainsi que de la représentation
matricielle des formes bilinéaires en dimension finie introduite dans la partie
précédente.
< rn > On utilise ici le fait que d'une part pour tout couple (C, D) E M,.(JR)2 on a t (CD) = t otc
et d'autre part, pour toute matrice CE M,.(IR) on a 1 (1 C) = C.