Algèbre bilinéaire
445
transitive.
- Toute matrice M de Mn(�) est congrue à elle-même (propriété de réflexivité)
puisque
M = tlnM in et In E GLn (�).
- Soient Met M' deux matrices de Mn(�). Montrons que si M est congrue à :tvI'
alors M' est congrue à M (propriété de symétrie). La matrice M est congrue
à M' si
3 P E GLn (�) M' = tPMP.
En multipliant à gauche par (tP)- 1 et à droite par p - 1 , on en déduit la relation (tP)- 1 l\II'P- 1 = M, puis la relation
< 17l M = t (P- 1 )M'P- 1 qui permet de
conclure que rvI' est congrue à M.
- Soient M, lVI' et M" trois matrices de Mn(�). Montrons que si M est congrue
à M' et si M' est congrue à M" alors M est congrue à l\II" (propriété de transitivité). D'une part, si M est congrue à lVI' alors
:JP E GLn (�) M' = tPMP.
(6)
D'autre part, si M' est congrue à rvI" alors
3 Q E GLn (�) M " = t QlVI'Q.
(7)
En combinant la relation (6) avec la relation (7), on obtient M" = tqtPMPQ.
Comme tqtp = t (PQ) et que le produit de 2 matrices inversibles est une
matrice inversible, cette relation s'écrit sous la forme M" = t (PQ)M(PQ). On
en conclut que M" est congrue à IVI.
0
Si deux matrices sont congrues alors elles sont équivalentes. Par ailleurs, le
fait que deux matrices équivalentes aient toujours le même rang c 1 s ) justifie la
définition suivante.
DÉFINITION 8.4 Soit cp une application bilinéaire sur un �-espace vectoriel
de dimension finie. On appelle rang de l'application bilinéaire cp le rang de la
matrice de cp dans une base quelconque de E.
Exemple Calculons le rang de la forme de Lorentz dont la matrice dans la
base canonique de � 4 s'écrit, voir p. 441,
(1 0 0
0 1 0
Mat scan (cp) = 0 0 1
0 0 0 � )
.
-c 2
< 11> On utilise ici le fait que l'inverse de tp est aussi la transposée de p- 1 , c'est-à-dire que
pour toute matrice P E GLn(R) on a 1 (P- 1 ) = (1P)- 1 .
(18) •
.
.
Voir le Cours de première année, corollaire 10.2 p. 447.