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Formes bilinéaires et formes quadratiques
matrices M = MatB ( (m· · ) · ·
2 et (m' · ) ( · · ) { }2 où
•J (i,J)E{l, ... ,n}
•J i,J E l, ... ,n
V (i,j) E {1, . .. , n} 2 mij = Pour établir le lien entre les coefficients mij et m�j, on part de celui existant
entre les deux bases B et B' . En notant P = ( P ii ) i j la matrice de passage de la
.
( 1 5)
base B à la base B', on a
\:fi E {l, ... ,n}
n
e� = LPki ek.
k=l
En utilisant la bilinéarité de l'application n
n
n n
m� J = k=l f=l
k=ll=l
Cette égalité se réécrit en faisant intervenir les coefficients mij = la manière suivante :
n n
n
n
n
m�j = LLPkiPeJ mke = LPki (L:mkePeJ) = LPkiqk j
k=l f=l
k=l l=l
k=l
où qkj désigne le coefficient (k,j) de la matrice MP. Le membre de droite de
l'égalité correspond donc à l'expression du terme ( i, j) du produit matriciel
tP (MP) , i.e.
m� i = (tPMP) i J·
Cette relation étant vraie pour tout ( i, j) E { 1, ... , n} 2 , on a bien M' = tPIVIP. 0
Matrices congrues
DÉFINITION 8.3 Une matrice M de Mn(IR) est dite congrue à une matrice M' de Mn(IR) si
3P E GLn(IR) M' = tPMP.
Remarque La définition 8.3 indique que deux matrices carrées de même
taille sont congrues si elles représentent la même application bilinéaire dans
deux bases différentes.
ô
PROPOSITION 8.2 La relation de congruence entre matrices de Mn(IR) définit une relation d'équivalence sur Mn(IR).
Démonstration Pour vérifier que la relation de congruence est une relation
d'équivalence, il faut montrer < 1 6J que cette relation est réflexive, symétrique et
(ls) Voir la Cours de première année, p. 434.
(lGJ Voir la définition 2.28 p. 55 du Cours de première année.