Algèbre bilinéaire
443
Changement de base pour représenter une application linéaire
Commençons par effectuer quelques rappels concernant les applications linéaires.
Considérons une application linéaire f entre deux IR-espaces vectoriels E et F.
On munit E des bases B et B' et F des bases Ce t C'. On sait c 12 ) que les deux
matrices M = MatB , c (!) et :rvI' = :rviatB' p (!) vérifient :
(4)
où P est la matrice de passage
< 13) de B à B' etQ est la matrice de passage de C
à C'. Deux matrices M et lVI' pour lesquelles il existe deux matrices inversibles P
et Q satisfaisant l'égalité (4) sont dites équivalentes. Deux matrices sont donc
équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans des bases
différentes.
Considérons maintenant un endomorphisme f de E (c'est-à-dire une application
linéaire de E dans E) et deux bases B et B' de l'espace vectoriel E. Les deux
matrices l\!I = MatB (f) et M' = JVIatB' (!) vérifient :
:tvI' = p- 1 r-dP
(5)
où P désigne la matrice de passage de B à B'. Deux matrices l\tI et lVI' pour
lesquels il existe une matrice inversible P satisfaisant l'égalité (5) sont dites
semblables. Deux matrices carrées sont donc semblables si elles représentent le
même endomorphisme dans deux bases différentes.
Rappelons que l'on note GLn(IR) le sous-espace vectoriel de Mn(IR) formé par
les matrices inversibles.
Changement de base pour représenter une application bilinéaire
Intéressons-nous à présent au changement de base dans la représentation matricielle d'une application bilinéaire.
PROPOSITION 8.1 Soient B et B' deux bases d'un espace vectoriel E de dimension finie · et P la matrice de passage de B à B'. Si cp est une forme
bilinéaire sur E, de matrice M dans la base B et de matrice lVI' dans la base
B' alors
M' = tPMP.
Démonstration Soient B = ( ei , e 2 , . . ., en) et B' = ( e� , e� , .. ., e�) deux bases
d'un espace vectoriel E de dimension finie n, et cp une forme bilinéaire sur E.
Par définition de la matrice d'une forme bilinéaire dans une base donnée
< 14> les
(12) •
•
Voir le Cours de première année p. 441.
(13) •
..
Voir le Cours de premiere année p. 434.
(l4) Vo ir la définition 8.2.
443
Changement de base pour représenter une application linéaire
Commençons par effectuer quelques rappels concernant les applications linéaires.
Considérons une application linéaire f entre deux IR-espaces vectoriels E et F.
On munit E des bases B et B' et F des bases Ce t C'. On sait c 12 ) que les deux
matrices M = MatB , c (!) et :rvI' = :rviatB' p (!) vérifient :
(4)
où P est la matrice de passage
< 13) de B à B' etQ est la matrice de passage de C
à C'. Deux matrices M et lVI' pour lesquelles il existe deux matrices inversibles P
et Q satisfaisant l'égalité (4) sont dites équivalentes. Deux matrices sont donc
équivalentes si elles représentent la même application linéaire dans des bases
différentes.
Considérons maintenant un endomorphisme f de E (c'est-à-dire une application
linéaire de E dans E) et deux bases B et B' de l'espace vectoriel E. Les deux
matrices l\!I = MatB (f) et M' = JVIatB' (!) vérifient :
:tvI' = p- 1 r-dP
(5)
où P désigne la matrice de passage de B à B'. Deux matrices l\tI et lVI' pour
lesquels il existe une matrice inversible P satisfaisant l'égalité (5) sont dites
semblables. Deux matrices carrées sont donc semblables si elles représentent le
même endomorphisme dans deux bases différentes.
Rappelons que l'on note GLn(IR) le sous-espace vectoriel de Mn(IR) formé par
les matrices inversibles.
Changement de base pour représenter une application bilinéaire
Intéressons-nous à présent au changement de base dans la représentation matricielle d'une application bilinéaire.
PROPOSITION 8.1 Soient B et B' deux bases d'un espace vectoriel E de dimension finie · et P la matrice de passage de B à B'. Si cp est une forme
bilinéaire sur E, de matrice M dans la base B et de matrice lVI' dans la base
B' alors
M' = tPMP.
Démonstration Soient B = ( ei , e 2 , . . ., en) et B' = ( e� , e� , .. ., e�) deux bases
d'un espace vectoriel E de dimension finie n, et cp une forme bilinéaire sur E.
Par définition de la matrice d'une forme bilinéaire dans une base donnée
< 14> les
(12) •
•
Voir le Cours de première année p. 441.
(13) •
..
Voir le Cours de premiere année p. 434.
(l4) Vo ir la définition 8.2.