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Formes bilinéaires et formes quadratiques
•
(10)
3
dans la base canomque de lRt , on calcule les valeurs de
On obtient
2. La forme de Lorentz définie sur rnt 4 par
admet pour matrice dans la base canonique de rnt 4
Mata ••• (�) � (�
0
1
0
0
0
0
1
0 _t )
avec c E lRt
Exercice 8.1 Déterminer la matrice de l 'application vectoriel M 2 (rnt) x M 2 (rnt) par
'
•
(Il)
par rapport a base canomque de Mz(ffit).
Une matrice carré de taille n à coefficients réels peut représenter aussi bien
une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension n qu'une
forme bilinéaire sur un espace de dimension n. On sera attentif à ne pas
confondre ces deux notions (applications linéaires de E vers F et formes
bilinéaires sur E) même si toutes les deux peuvent être représentées par le
même objet mathématique : une matrice.
8.1.3 Changement de base
Bien entendu, comme pour les applications linéaires, la notion de matrice représentant une forme bilinéaire dépend de la base choisie sur l'espace vectoriel E. Il
est donc important de savoir comment est modifiée cette représentation lorsque
l'on change de base.
cio ) Rappelons que la base canonique de !Rn, n E N* est formée des n vecteurs de composantes : (1, 0, 0 , ... , 0), (0, 1, 0, ... , 0), ... , (0, ... , 0, 0, 1).
(Il) La base canonique de l'espace vectoriel M 2 (1R) est constituée des matrices carrées, notées
Ei j , ne comportant que des coefficients nuls sauf celui en position (i, j) qui vaut 1.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
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(10)
3
dans la base canomque de lRt , on calcule les valeurs de
2. La forme de Lorentz définie sur rnt 4 par
admet pour matrice dans la base canonique de rnt 4
Mata ••• (�) � (�
0
1
0
0
0
0
1
0 _t )
avec c E lRt
Exercice 8.1 Déterminer la matrice de l 'application vectoriel M 2 (rnt) x M 2 (rnt) par
'
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(Il)
par rapport a base canomque de Mz(ffit).
Une matrice carré de taille n à coefficients réels peut représenter aussi bien
une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension n qu'une
forme bilinéaire sur un espace de dimension n. On sera attentif à ne pas
confondre ces deux notions (applications linéaires de E vers F et formes
bilinéaires sur E) même si toutes les deux peuvent être représentées par le
même objet mathématique : une matrice.
8.1.3 Changement de base
Bien entendu, comme pour les applications linéaires, la notion de matrice représentant une forme bilinéaire dépend de la base choisie sur l'espace vectoriel E. Il
est donc important de savoir comment est modifiée cette représentation lorsque
l'on change de base.
cio ) Rappelons que la base canonique de !Rn, n E N* est formée des n vecteurs de composantes : (1, 0, 0 , ... , 0), (0, 1, 0, ... , 0), ... , (0, ... , 0, 0, 1).
(Il) La base canonique de l'espace vectoriel M 2 (1R) est constituée des matrices carrées, notées
Ei j , ne comportant que des coefficients nuls sauf celui en position (i, j) qui vaut 1.