Algèbre bilinéaire
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dans la base B : une forme bilinéaire est déterminée par les valeurs
aij = cp(ei , e j ) qu'elle prend sur une base de E.
DÉFINITION 8.2 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension n muni d'une
base B = (e1, ... ,en) et cp une forme bilinéaire sur E. On appelle matrice de
la forme bilinéaire cp par rapport à la base B la matrice de Mn (IR) dont les
coefficients sont cp( ei, e j ) pour ( i, j) E { 1, ... , n } 2 . On la note
(cp (ei , e l )
J\!Iat13 ( cp) =
cp( e�' e l )
cp(en , e l )
cp( ei , e 2 )
cp(e 2 , e 2 )
cp(e1,en))
cp(e 2 ,en)
cp(en ,en)
et on dit que la matrice J\!I at13 ( cp) représente cp dans la base B.
La relation (2) s'écrit matriciellement
cp(x, y) = txAY
(3)
où A = Mat13 (cp) et où X et Y sont les matrices colonnes représentant x et y
dans la base B :
Remarques
(� 1 ) - (� 1 )
X=
.
et Y- . .
.
.
Xn
Y n
1. Inversement, toute matrice de Mn (IR) définit une forme bilinéaire sur E via
la formule (3).
2. L'application qui à une forme bilinéaire cp associe sa matrice est un isomorphisme d'espaces vectoriels <9> entre l'espace vectoriel .C'2(E x E, !R) et l'espace
vectoriel Mn (IR). L'existence de cet isomorphisme permet d'affirmer que les dimensions du IR-espace vectoriel ,C 2 (E x E, IR) et du IR-espace vectoriel Mn(IR)
sont les mêmes. Sachant que l'espace vectoriel Mn (IR) est de dimension n 2 , on
en déduit que dimnt C 2 (E x E, IR) = n 2 .
<>
Exemples
1. Pour déterminer la matrice de la forme bilinéaire définie sur JR 3 par
\i(x, y) E JR 3 cp(x, y) = X1 Yl + X 2 Y 2 + X 3 Y 3
<9> Pour la définition d'isomorphisme d'espaces vectoriels, voir Je Cours de première année
p. 358.