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Formes bilinéaires et formes quadratiques
8.1.2 Cas d'un espace vectoriel en dimension finie
Rappel sur le lien entre les matrices et les applications linéaires
Soient E un IR-espace vectoriel de dimension p muni d'une base B et F un
IR-espace vectoriel de dimension n muni d'une base B'. À une application linéaire f de E dans F, on peut associer une matrice relativement aux bases B
et B'. C'est une matrice de taille (n,p) à coefficients dans lR dont la j-iême colonne est constituée par les coordonnées de l'image du j-iême vecteur de la
base de départ B par rapport à la base d'arrivée B'. On la note
]\if atB ,B1 (f)
et on dit que la matrice MatB ,B ' (!) représente f dans les bases B et B'.
En pratique, en notant B = ( e1, ... , ep )
et B' = ( e� , ... , e�) les deux bases, on a
de façon symbolique
f( e1 )
IvlatB ,B ' (!) =
( a 11
a21
a�1
��: p ) ) e}
a2p e 2
anp e�
Cette identification entre les applications linéaires et les matrices permet d 'utiliser toute une classe de résultats issue de l'algèbre matriciel.
Formes bilinéaires et matrices
Comme pour les applications linéaires, il est possible de représenter les formes
bilinéaires par des matrices. Insistons sur le fait qu'une telle représentation n'est
possible que pour des formes bilinéaires et non pour des applications bilinéaires
à valeurs dans un espace vectoriel quelconque.
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension n muni d'une base B = (e1, ... ,en) ·
Considérons un couple (x, y) E E 2 donné dans la base l3 par
n
n
x = L Xi e i et y= LY1 e 1 .
i=l
j=l
La bilinéarité de cp, voir la relation (1), entraîne que cp(x, y) peut s'écrire sous
la forme
n n
cp(x, y) = LLXi Y1 cp(ei ,e j ) ·
i=l j=l
(2)
Cela signifie que la connaissance des valeurs de cp(ei, e 1 ) pour tout couple
(i, j) E {1, ... n} permet d'évaluer cp(x, y) dês que l'on sait décomposer x et y
( S J Voir le Cours de première année p. 407.