Algèbre bilinéaire
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présentons dans ce chapitre existe pour des espaces vectoriels sur des corps
différents, comme par exemple le corps des nombres complexes. Dans le cas
d'un C-espace vectoriel, l'analogue des formes bilinéaires de la définition 8.1
sont les formes « sesquilinéaires ». Une forme sesquilinéaire 'l/; sur un C-espace
vectoriel E est une application de E x E dans (['. qui vérifie
'v' (x, y, z ) E E 3 'v'(>., µ) E (['. 2 ( 1.p(>.x +µy, z ) = "X 1.p(x, z ) + µ 1.p(y, z )
et 1.p(x, >.y + µz) = >. 1.p(x, y) + µ <.p(x, z ) )
où "X et µ désignent les complexes conjugués de >. et µ respectivement.
o
Exemples
1. On vérifiera sans peine que l'application <.p JR 3 x JR 3 � lR définie pour
x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ) et y = (y 1 ,y 2 ,y 3 ) par
1.p(x, y) = Xi Yi+ X 2 Y 2 + X3 Y3
est une forme bilinéaire sur E = JR. 3 .
2. Dans l'espace vectoriel IR 4 , l'application <.p IR 4 x IR 4 � lR définie pour
x = (xi ,x 2 , X3 , X 4 ) et y = (yi ,y 2 ,y 3 ,y 4 ) par
<.p(x, y) =xi Yi + x 2 Y 2 + X3 Y 3 - c 2 x 4 Y 4
où c désigne un paramètre réel, est une forme bilinéaire. Cette forme bilinéaire
qui intervient dans la théorie de la relativité est nommée forme de Lorentz <5> .
3. Sur l'espace vectoriel C([O, 1], JR) des applications continues de [O, 1] dans IR,
l'application <.p: C([O, 1], IR) x C([O, 1], IR) � lR définie par
<.p(f, g) = fo
i
J(t)g(t) dt
est une forme bilinéaire. Ce résultat découle des propriétés de linéarité de l'in, l (6)
tegra e .
4. Sur l'espace vectoriel Mn(IR) des matrices carrées de taille n à coefficients
réels, l'application <.p définie par
<.p: (A, B) E Mn(IR) x Mn (IR) t--- -> Tr(t AB) E lR
est une forme bilinéaire. Le résultat découle de la linéarité de l'application
Trace <7> qui à une matrice de Mn(IR) associe la somme de ses éléments diagonaux.
<5> LORENTZ, Hendrik Antoon (1853, Arnhem - 1928, Haarlem). Physicien néerlandais qui
reçut le prix Nobel de physique en 1902.
<6> Voir le Cours de première année, chap. 18.
(î} Voir Cours de première année p. 448.