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Formes bilinéaires et formes quadratiques
DÉFINITION 8.1 Soient E et F deux JR-espaces vectoriels. L'application
(x, y) 1--+ est qualifiée d'application bilinéaire si
\f(x, y, z) E E 3 \f(À, µ) E JR 2 ( et Il découle de cette définition que si les vecteurs x et y s'expriment comme des
combinaisons linéaires à coefficients réels d'éléments de E, i.e. si x= I:f = 1 À i X i
et y= I:j = 1 µ 1 y j avec À; et µ j des réels et x;, y; des éléments de E, alors on a
p
p
i=l
i=l
p
q
p
q
= L À; i=l
j=l
i=l j=l
D'autre part, il résulte de la définition 8.1 que l'on a pour tout x E E,
cp(x, OE) =OF et Structure d'espace vectoriel
(1)
On note L 2 (E x E, F) l'ensemble des applications bilinéaires de Ex E dans F.
L'ensemble L 2 (E x E, F) possède une structure de JR-espace vectoriel <3> : pour
tout (!, g) E L 2 (E x E, F) 2 et pour tout (a:, (3) E JR 2 on a
a:· f + (3 · g E L 2 (E x E, F).
Remarques
1. On appelle <4> « forme » toute application définie sur un espace vectoriel qui
est à valeurs dans le corps de base de cet espace vectoriel. Ainsi, une forme
bilinéaire sur le JR-espace vectoriel E est une application bilinéaire f de E x E
à valeurs dans lR.
2. Dans ce chapitre, le corps de base des espaces vectoriels est le corps des
nombres réels JR. Signalons toutefois qu'une théorie similaire à celle que nous
(a) Rappelons que l'ensemble des applications de E x E vers F est un JR-espace vectoriel,
voir le Cours de première année p. 300, dont l'ensemble des applications bilinéaires de
E x E vers F constitue un sous-espace vectoriel. Il possède ainsi lui-même une structure
de JR-espace vectoriel.
<4> Voir le Cours de première année p. 355 et p. 465.