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Solutions des exercices
b) Pour montrer que les deux normes ne sont pas équivalentes, montrons
que l'assertion « 3C E JR.+ Vf E E NH J) ::( CN 2 (!) » est fausse. Il s'agit
donc de montrer que VC E JR.+ 3f E E N� (f) > CN 2 (!).
Considérons les fonctions puissances de la forme f : x E]a, b] 1--- -t (x - a)0 pour
a E JR.+ prolongées par continuité en x =a en posant f (a) =O. Ces applications
sont de classe C 00 sur [a, b] et s'annulent en x = a, donc appartiennent à E.
On a
lb (t - a) 2 a dt =
_ 1 _ [ (t - a) 2a + l ]
b = (b - a) 2a + l
a
2a + 1
a
2a + 1
l b (a( t - a) a - 1 ) 2 dt = a 2 l b (t - a) 2a-2 d t
1
2 ( b
) 2a -1
= a 2 -- [ (t - a) 2a - 1)
b =
a - a
2a -1
a
2a -1
Pour C E JR+ fixé, on cherche à déterminer a tel que N� (f) > CN 2 (!), c'està-dire tel que N� (f ) 2 > C 2 N 2 (!) 2 . Remarquons que
a 2
(b - a)2
-- > c 2 -'------'2a -1
2a + 1
Posons a = C ( b - a) ; comme 2a - 1 < 2a + 1 on a
a 2
a 2
C 2 ( b - a)2
-> -- =
.
2a - 1
2a + 1
2a - 1
On en conclut que pour tout C E JR.+ , l'application f : x E]a, b] 1--- -t (x - a)0 où
a = C(b - a) est telle que N� (f) > CN 2 (!). Les deux normes ne sont donc pas
équivalentes.
SOLUTION DE L'EXERCICE 7.17
1 - a) Comme la fonction puissance 3/2 est continue et dérivable sur [O, +oo(,
l'application f est continue et dérivable sur [O, +oo[. Pour tout x E [O, +oo[,
on a f'(x) =.,/X - a. On en déduit le tableau de variation suivant pour f :
Or,
X
0
a",!,
+oo
f'(x) -a -
0
+ +oo
a�
+oo
3
f(x)
�
/
0
b) On déduit de la question précédente que pour tout b E JR.+, on a f (b) � O.
f(b) >- 0
1 3 +
2 b � b >- 0 .... .. .. .. .. .. . ab �3
l a 3 + _
3
2 b�.
r
{::: :: :: :} 3 a 3
2 - a r .,,. .. .. .. .. ..
,