Espaces métriques et espaces vectoriels normés
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2 - a) Pour montrer que E est un espace vectoriel, il suffit < 102 > d'établir que E
est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C 0 ([a, b], �). Pour cela il faut
montrer <' 0 3> que E est non vide et que pour tout (>., µ) E � 2 et pour tout
(f, g) E E 2 , la fonction >.j + µg appartient à E.
L'ensemble E est non vide puisque la fonction nulle appartient clairement à E.
De plus, si (!, g) E E 2 alors f (a) = g( a) = 0 et par conséquent pour tout
(..\, µ) E � 2 la fonction Àf + µg E C 0 ([a, b] , �) vérifie ..\f(a) + µg(a) = 0 ce qui
permet d'affirmer que ..\f + µg appartient à E.
b) Pour montrer que N� est une norme sur E, reprenons notre raisonnement
de la question 1-b. On a vu que la condition NH J ) = 0 impliquait que f était
une application constante sur [a, b]. Si f appartient à E alors f(a) = 0 ce qui
implique que la constante est 0 et l'application f est l'application nulle. On en
conclut que N� est bien une norme sur E.
3 - a) Soit f E E; pour tout x E [a, b] on a
f(x) = f(a) +l x J' (t) dt = lx J ' (t) dt.
On en déduit que
IJ(x)I = l lx J ' (t) dt ' :: :; ; lx IJ '(t ) I dt
puis en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz < 10 4> que
On a donc l f(x)I :::; ; Jx - a NH J ). On en déduit alors que
N 2 (f) 2 = l b lf( x) l 2 dx :: :; ; l b (x - a) N� (f) 2 dx
= N� (f) 2 {b (x - a) dx = (b - a) 2 N� (f) 2 .
la
2
b - a
On en conclut que N 2 (f) :: :; ; J2 N� (f).
( 102 ) ·•
Voir le Cours de première année p. 307.
( IOa) Voir la définition 8.5 p. 306 du Cours de première année.
(I 0 4) Voir la proposition 18.6 p. 846 du Cours de première année.